复习参考题教学设计和教学实录

三角求值的解题策略

1.三角求值所考查公式有哪些？

1. 掌握同角的三角函数的基本关系式:掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2.角的范围对三角函数值的影响，对角的范围进行必要的讨论

2.三角求值所考查的题型有哪些？

(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角

（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解

（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

3.三角求值所使用的数学思想方法技巧有哪些？

1. 角的变换:

在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下: 301545306045, ()()()222, 2()()()()()4424,4

44特别地, 与为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.

2. 函数名称变换:

三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换:

在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: 1sincossectancsccot. 4. 幂的变换:

降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有: 222222sin21cos21cos2,cos2,sin2cos2122

等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式1cos常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及cos变形式的应用. 如: 下面我们以近些年的高考题，谈谈常用的解题策略。

一、直接公式法：

sin2,tantantan()(1tantan)2sin等.

例1.设(0,)，若sin3，则2cos()=（ ）

2457171 A. B. C.  D. 

5555

方法技巧总结：本题直接运用sin2cos21及cos()coscossinsin两个公式，同时结合了象限定三角符号的知识. 直接应用公式解决问题，是我们最常用的方法.关键是我们对公式须十分熟练，且能变形使用. 变式练习：（2010全国卷2文数）（3）已知sin2，则cos(x2)

3

（A）1155（B）（C）（D）

993319

5πππ，求cos2和sin(2)，．2442【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，

cos(2)cos2(12sin2)二、弦切互化：

例2． （2006年天津卷）已知tancot的值．

5sincos5254,得,则,sin2.

2cossin2sin253cos21sin22,

因为(,),所以2(,),

4225解：由tancot

42322sin(2)sin2.coscos2.sin

.

444525210方法技巧总结：在三角问题中，既含切又含弦时，弦切互化是我们的通法，互化的依据就是应用公式tan式. 变式练习

sin. 弦化切时，往往是除以cosn，切化弦时，直接代入公cos113已知：cos，tantan.57

求cos()的值.

解：由tantansinsincoscoscoscos13coscos710coscos

32cos

3三、特殊技巧法：“1的妙用”

例3：（湖北卷.文理17题）已知6sin2sincos2cos20，[,]，求2sin(2)的值.

3

其解答的主要技巧是“1的妙用”，将先已知式因式分解，求出tan，再利用sin2cos2=1将所求式化成分子分母齐二次式，从而达到“弦化切”. 解法一：由已知得：(3sin2cos)(2sincos)0

3sin2cos0或2sincos0

由已知条件可知cos0,所以,即(,).

222于是tan0,tan.

3sin(23)sin2cos3cos2sin3

3(cos2sin2)2sincos3cos2sin2 （

22222cossincossintan31tan2.2221tan1tan2将tan代入上式得

3sincos

22()1()2333sin(2)22321()21()2

33653.即为所求.1326

变式练习：（2010江西理数）17.（本小题满分12分）

fx1cotxsin2xmsinxsinx44。

已知函数3，fx84上的取值范围；

(1) 当m=0时，求在区间(2) 当tana2时，解：（1）

当m=0时，f(x)(1fa35，求m的值。

cosx1cos2xsin2x)sin2xsin2xsinxcosx

sinx2132[2sin(2x)1]，由已知x[,]，得2x[,1]

248442从而得：f(x)的值域为[0,（2）f(x)(112]

2cosx)sin2xmsin(x)sin(x)

sinx4411化简得：f(x)[sin2x(1m)cos2x]

222sinacosa2tana43cos2a当tan2，得：sin2a，，

sin2acos2a1tan2a55代入上式，m=-2. 方法技巧总结：主要技巧是“1的妙用”，将1换为sin2cos2. 其次是应用弦化切.

四．角的配凑

例4.（2006江苏卷）cot20cos103sin10tan702cos40＝

【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值

cot200cos1003sin100tan7002cos400cos200cos1003sin100sin70002cos40sin200cos700cos200cos1003sin100cos20002cos40sin200cos200(cos1003sin100)02cos40sin2002cos200(cos100sin300sin100cos300)02cos40

sin2002cos200sin4002sin200cos400sin2002

【技巧方法】在三角求值的问题中,要注意这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 变式练习.(2006重庆卷)已知,

3123,，sin()=－, sin,54134则cos=________. 4解：

,12333,,sin,

sin()，(,2)，

413254345(,)，∴

cos()，cos()，

4245413则cos()cos[()()]=cos()cos()sin()sin()

4444

=

4531256()()

51351365

小结语：求解“三角中给值求值”一类问题，类似于代数式中的给值求值，关键在于代数变形，只是变形过程中要用到许多三角公式与技能技巧. 这里讨论的通法，也适应于求解其他三角问题，如三角中单调性、值域、周期的研究. 其中所蕴含的思想方法是我们学习的精髓.

备用（山东理17）

cosA-2cosC2c-a=cosBb．

在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知sinC

（I）求sinA的值；

1

（II）若cosB=4，b=2，ABC的面积S。

解：

abck,

（I）由正弦定理，设sinAsinBsinC

2ca2ksinCksinA2sinCsinA,bksinBsinB则

cosA2cosC2sinCsinA.cosBsinB所以

即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，

化简可得sin(AB)2sin(BC).

又ABC，

所以sinC2sinA

sinC2.因此sinA

sinC2sinA

（II）由得c2a.

由余弦定理

1b2a2c22accosB及cosB,b2,41得4=a24a24a2.4

解得a=1。

因此c=2 1cosB,且GB.4又因为

sinB所以15.4

S因此111515acsinB12.2244

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