2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优质课教案

《2.3.2 平面向量的正交分解和坐标表示》教案

一、教学目的：

1、知识与技能

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。 2、过程与方法

（1）用两个不共线的向量来表示平面里的任何一个向量；

（2）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；

3、情感态度价值观

（1）掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；

（2）培养学生自主探究能力，揭示向量与代数之间的联系

二、教学重点：平面向量的坐标表示

三、教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 四、教 具：多媒体、实物投影仪

五、教学过程：

(一)、知识回顾，奠定新知

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

（二）、创设情境，引入新知

1．平面向量的正交分解

把向量分解为两个_________的向量。

思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序实数表示，平面内的每一个向量，如何表示呢？

2．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得



1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○2式叫做向其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，○量的坐标表示.与．a相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 3. 在平面直角坐标系中,一个平面向量和其坐标是一一对应的。

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定. 设OA=xi+yj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.

（三）、探究合作，理解新知

例1：请写出图中向量OA,OB,BC的坐标

变式1：请在平面直角坐标系中作出向量a、b，其中a=（1,-3）、b=（-3，-1）.

（四）、课堂练习，应用新知

O B (4,-1) O y A(2,3) C(6,2) x y A x

1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且

MP1MN， 求P点的坐标

22．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，

则AB2BC= . 3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. （五）、感悟延伸，总结新知

向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义。

将向量的起点平移到坐标原点，则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标。 六、课后作业（略）

七、板书设计（略）

八、教学反思 根据学生在课，教堂对教师提出来的问题以及课后作业情况来看，本节课对这个知识点的处理是使用类比的方法，通过平面向量基本定理提出空间向量是否也有类似的定理。然后通过先特殊再到一般这

样的探究的过程，让学生参与整个教学过程，体现了新课改的新理念之一“探究

性学习”