2.1.3 相等向量与共线向量优质课一等奖

2.1 .3

《相等向量与共线向量》教学设计

重点难点

教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.

图1 推进新课

①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？

②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？

③数量与向量的区别在哪里？

提出问题

①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量? ④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗? ⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量? ⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系? ⑦数量与向量有什么区别? ⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?

已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

图2

知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB.

这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) 3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|). 教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义. 讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a

→来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD. 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写. ②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.

图3 ③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. ④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ⑤是平行向量.平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.

图4

又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出OA＝a,OB=b,OC=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量. 应用示例

例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)

图5 分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示. 解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000) 100 000) AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷

点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置. 例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由. (1)ABCD中,AB与CD是共线向量; (2)单位向量都相等.

活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.

因为AB//CD,所以AB∥CD.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定. 解:(1)正确; (2)不正确. 点评:本题考查基本概念,对于单位向量、平行向量的概念特征及相互关系必须把握好.

图8 课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好. 作业

课本习题2.1

1、2.