复习参考题教学设计及教案分析

教案 必修三 第二章

算法初步小结

泰和中学

胡常达

一、学习目标

1. 知识梳理，总结提高

2.培养学生的数学应用意识. 二、重点、难点

重点: 知识梳理，总结提高

难点:用程序语句编制简单程序

三、课前预习

本章知识结构

程序框图算法算法语句排序进位制辗转相除法与更相减损术秦九韶算法

一、知识点剖析

1．算法的定义和特点

掌握要点：

算法定义：在数学中指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。

算法特点：①有穷性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止。②确定性，算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊且算法执行后一定产生确定的结果，不能模棱两可。③可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个明确的后继步骤，前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都要准确无误才能解决问题。④不惟一性：求解某一类问题的算法是不惟一的，对于一个问题可以有不同的算法。⑤普遍性，很多具体的问题都可以设计合理的算法解决。

易混易错：（1）算法一般是机械的，有时要进行大量重复的运算，只要按部就班的做总能算出结果，通常把算法过程称为“数学机械化”，“数学机械化”的最大优点是它可以让计算机来完成。（2）实际上，处理任何问题都需要算法。如，邮购物品有其相应的手续。购买飞机票也有一定的手续等。（3）求解某个问题的算法不惟一。

2．（1）程序框图表示算法步骤的一些常用的图形和符号

图形符号

输入、输出框

处理框

名称

终端框（起止框）

功能

程序的开始和结束，

表示数据的输入或结果的输出

赋值,计算

判断框

流程线

连接点

判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明：“是”或“YES”；不成立时在出口处标明“否”或”NO”

连接程序框

连接程序框图的两部分

易混易错：在所给的上述符号之中只有判断框有一个入口和两个出口，它是唯一有两个退出点的符号。

（2）三种基本逻辑结构

①顺序结构

②条件结构

③循环结构

顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的。这

是任何一个算法都离不开的基本结构。

条件结构：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立会有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构。

易混易错：在条件结构中无论条件是否成立，都只能执行两框之一，两框不可能同时执行，也不可能两框都不执行。

循环结构：算法结构中经常会遇到从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤成为循环体。循环结构分为两种：当性循环结构和直到性循环结构。

当性循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。“先判断”

直到性循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。“先循环”

注意：循环结构中一定包含着条件结构。

3．基本算法语句

（1）输入语句

①输入语句的一般形式是：INPUT “提示内容”；变量

②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能

③“提示内容”提示用户输入什么样的信息

④输入语句可以给变量提供初值

⑤提示内容与变量之间用分号隔开，若输入多个变量，变量之间用逗号隔开。

例如：INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量

（2）输出语句

①输出语句的一般形式是：PRINT “提示内容”；表达式

②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能。

③“提示内容”提示用户输入什么样的信息，如PRINT “S=；S 是提示输出的结果是S的值

④PRINT语句可以在屏幕上出现常量、变量以及系统信息。

注意：任何求解问题的算法，都要把求解问题的结果输出。

（3）赋值语句

①赋值语句是最基本的语句

②赋值语句的一般格式为：变量=表达式

③“=”叫做赋值号。

易混易错:

①赋值号做变只能是变量而不能使表达式。

②赋值号的左右两边不能调换。

③不能利用赋值语句进行代数式的演算（如化简、因式分解、解方程等）。

④赋值号与数学中的符号意义不同。

注意:输入语句、输出语句、赋值语句基本上对应程序框图中的顺序结构；一个算法有0个或者多个输入，有一个或多个输出；输出语句和赋值语句具有运算功能而输入语句不具有运算功能。

（4）条件语句

共分为两种形式

IF-THEN-ELSE格式

(1)

IF

条件

THEN

满足条件？

否

语句1

是

ELSE 语句1 语句2

语句2

END IF

当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）

②

IF-THEN格式

是

满足条件？

IF

条件

THEN

否

语句

语句

END IF

计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）

条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。

（5）循环语句

算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构。

一般程序设计语言中也有前测型和后测型两种语句结构。

①For语句形式为：

For

循环变量=初始值To终值

循环体

Next ②DO LOOP语句形式为：

DO

循环体

Loop While 条件为真

3.两种循环语句有何区别？

For语句适用于已知循环次数的循环结构. 对应于前测型循环结构

DO LOOP语句适用于预先不知循环次数的循环结构，对应于后测型循环结构

辗转相除法算法：

第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；

第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；

第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；

……

依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。

开始输入两个正整数m，nm>n?否是x=nn=mm=xr=m MOD nn=rm=nr=0?否是输出n程序框图结束

程序：

INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF

m

x=m m=n n=x END IF r=m MOD n WHILE

r<>0

r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT

m END 更相减损术

更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。

翻译出来为：

第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。

第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

（1）

辗转相除法与更相减损术区别联系

①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

(2)秦九韶算法与排序

掌握秦九韶算法的原理

=an vk=vk-1+an-k (k=1,2,3,……n) (3)进位制

进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。

易混易错：表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示, 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 四、堂中互动

1．判断某一事情是否为算法

方法归纳：（1）

判断某一问题是否为算法要把握算法的五个特征：

①有穷性②确定性③可行性④不惟一性⑤普遍性

例1．下列关于算法的说法中正确的个数有(

) ①求解某一类问题的算法是唯一的

②算法必须在有限步操作之后停止

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊

④算法执行后一定产生确定的结果

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4 主要过程：由算法的五个特征可以解得只有①是错误的，解答某一类问题的算法时不惟一的。

强调内容：把握好算法的五个特征。

2．就某一问题画出程序框图并写出算法

方法归纳：（1）画程序框图时一定要明确图中各个符号的作用并能正确使用三种基本逻辑结构。（2）用程序设计语言描述算法时一定要注意有些符号与框图之中书写的不同。

例2．设计算法求1111的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的程12233499100序. 主要过程：

i=1

开始

i=1 s=0 s=s+1/(i*(i+1)) i=i+1 i>99??

s=0

DO

s=s+1/(i*(i+1))

i=i+1

LOOP

while

i≤99

PRINT

s

END

输出s 结束

强调内容：解答此题目是一定要注意循环终止的条件是i>99而不是i>100,因为这个数列共有99项

3．讨论法画程序框图写程序

方法归纳：先通过解决数学题的思想进行讨论，再画图写程序。

例3、画出解关于x的不等式ax+b<0 (a，b∈R)的流程图及程序。

INPUT

a,b

IF a= 0

THEN

IF

b＞0

THEN

PRINT

无解

ELSE

PRINT

x为全体实数

ELSE IF a＞0

THEN

PRINT

x＜-b

a

ELSE

PRINT

x＞-b

a

END

IF

END

主要过程：如上

强调内容：注意讨论时要全面，不但要讨论a还要讨论b. 4．实际应用：

方法归纳：先通过解决数学题的思想进行讨论，再画图写程序

例4、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：

（1）写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）用程序表示计算10年以后该城市人口总数的算法；

（3）用流程图表示计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人的算法。

主要过程：（1）y1001.012x

（2)程序如下：

S=100 I=1.2 X=0 WHILE

S<120

S=S*I X=X+1 WEND

PRINT X END

开始

S=100 I=1.2 X=0 N S<120?? Y S=S*I

X= X +1

输出X

结束

5．

求高次多项式的值

方法归纳：能够熟练利用秦九韶算法原理求高次多项式的值

v0=an

vk=vk1+ank

(k=1,2,3,……n) 用秦九韶算法计算fx5x54x43x32x2x1

主要过程：a5

=5, a4=4,a3=3,a2=2,a1

=1,a0

=1

v0= a5=5

v1= v0*2+ a4=5*2+4=14

v2= v1*2+ a3=14*2+3=31

v3= v2*2+ a2=31*2+2=64

v4= v3*2+ a1=64*2+1=129

v5= v4*2+ a0=129*2+1=259

所以

f(2)=259 强调内容：注意在运算过程之中vk=vk1+ank

(k=1,2, 3,……n)的正确应用

五、即学即练

（2008广东

）1．阅读右上的程序框图。若输入m = 4，n = 3，则输出a = __12__，i =_3____ 。（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”）

开始

输入n

S0，T0

是

n2?

否

ssn

（2007山东）2．阅读如上右边的程序框图，若输入的n

是100，则输出的变量S和T的

（

D

）

A．2500，2500

B．2550，2550

C．2500，2550

D．2550，2500` 练案

A组

nn1输出S，T

TTnnn1结束

1、给出一个算法的流程图（如图），若asin,bcos,ctan,(（

）

A、sinθ

B、cos

C、tanθ

D、不确定

2．x=5 y=6 PRINT

x+y=11 END

上面程序运行时输出的结果是(

) ,)，则输出结果a为

42A.xy=11

B.11

C.x+y=11

D.出错信息

3.如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中UNTIL后面的“条件”应为(

)

A. i>10

i=11 s=1

DO

B. i<8

s=s*i

i=i－1

LOOP UNTIL “条件”（第3

题图）

PRINT

S END

（第10题）

C. i<=9

D. i<9

4.如右图所示的程序是用来(

) A．计算3×10的值

B．计算3的值

C．计算3的值

D．计算1×2×3×…×10的值

5.计算机中常用十六进制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号与十进制得对应关系如下表：

109程序：S=1 I=1 WHILE

I<=10

S=3*S I=I+1 WEND PRINT

S END

（第4题）

C D E F 16进制

10进制

0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 A B 10 11 12 13 14 15

例如用十六进制表示有D+E＝1B，则A×B=(

) A

6E

B 7C

C 5F

D B0 6. 若六进数3m5026化为十进数为4934，则m=

7.

二进制数111.11转换成十进制数是_________________. 8. 右边程序输出的n的值是_____________________. j=1

n=0 WHILE

j<=11

j=j+1

IF

j MOD 4=0

THEN

n=n+1

END IF

j=j+1 WEND PRINT

n END

9．下图给出的是计算1111的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件24620是

.

第9题

10．计算f(x)2x43x35x4当x3时多项式的值，需要

次加法运算，（

）

次乘法运算,此多项式写成算法

语句为（

）。

B组

11.执行右图中程序，回答下面问题。

（1）若输入：m=888,n=1147，则输出的结果为：________ （2）画出该程序的程序框图。

INPUT“m=”;m INPUT“n=”;n DO

r=m MOD n

m=n

n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 第11题图

x(，2]，2x4，12．已知yx2，x(2，2)，请设计程序框图，

x12，x[2)．要求从键盘输入x，输出y。并写出计算机程序。

13．

已知S=12－22＋32－42＋……＋(n－1)2－n2，请设计程序框图，算法要求从键盘输入n，输出S。

并写出计算机程序。

14.

按如图所示的流程图操作．

（Ⅰ）操作结果得到的数集是什么？如果把依次产生的数看成是数列{an}的项，试写出其通项公式．

（Ⅱ）如何变更A框，能使操作流程图产生的数分别是数列A B 开始

写下1 对前一个数加2 写下结果

{2n2}的前10项？

15.到银行办理个人异地汇款（不超过100万元）时，

银行要收取一定的手续费。汇款额不超过100元，收取1元手续费；超过100元但不超过5000元，按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费。设计算法求汇款额为x元时，银行收取的手续费y元。画出流程图并写出程序。

你已写下了

10个数吗？

Y 结束

N 16．求123n1000成立的n的最大整数值，画出程序框图，并写程序

17.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：

（1）写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；

（2）用程序表示计算10年以后该城市人口总数的算法；

（3）用流程图表示计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人的算法。

2222

参考答案

练案A组

一、

选择题

BDDCA 二、

6.

4

7.

7.75

8.

3

9. n>20(或者i>10)

10.

4,4,f(x)=2*x^4+3*x^3+5*x-4 B组

11．

37

开始输入两个正整数m，nm>n?否是x=nn=mm=xr=m MOD nn=rm=nr=0?否是输出n结束

1 2．

开始

输入x

x2Y

N

Y 2x2

N

y=x1y=2x1

y=-2x-4

输出y

结束

input x if x<=-2 Then y=-2*x-4 else

if 2x2

Then y=SQR(x+1) else

y=2^(x-1) end if end if

print y

end

3．解：由表达式规律可知，输入的n必须为偶数。

程序框图为：

13.略

14．解：（Ⅰ）{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，通项公式为an2n1，nN*，且n≤10．

（Ⅱ）变更A框为：写下0，这时操作流程图，可依次得：0，2，4，…，18，恰好为数列通项公式为{2n2}的前10项．

15．先写出函函数

程序略

0

输入x

数，此题为一分段Y N

Y

100

N

y=0.1x y=1 y=50

输出y

结束

16.

S=1 开始

I=2

S＝0 while s<1000

2

A= I ^

i=1 2

S = S + I^

I = I +1

S＝S+i^2 wend

print i-2

i=i+1 end

（第16题图）

否

是

S<1000

是

输出i－2

结束

17（1）y1001.012x

（2)程序如下：

S=100 I=1.2 X=0 WHILE

S<120

S=S*I X=X+1 WEND

PRINT X END

开始

S=100 I=1.2 X=0 N S<120?? Y S=S*I

S=* I X= X +1 输出X 结束