阅读与思考 三角学与天文学课件配套优秀教案设计

1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算

一、教学目标：

1．知识目标：

（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

2．能力目标：

（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。

3．情感目标：

（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。

二、教学重点、难点：

重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；

难点：理解弧度制与角度制的区别。

三、教学方法：

通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。

四、教学过程：

教学

环节

复

学

引

入

教学内容

1．

复习上节课所学角的概念。

2．

初中所学的角度制。

师生互动

师：上节课我们把角的概念进行了扩充，角分为几类？（正角、负角、零角）

师：在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？

答：周角的1/360为1度的角。

师：这种用角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度——弧度制。（板书课题）

1．

角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的必然形成一条圆弧，不同的点设计意图

共同回顾角度制，从而为下面角度制与弧度制的比较埋下伏笔。

概念

形成

1．

圆心角、弧长和半径之间的关系：

在同心圆中，同一圆心角1．边演示边说明，使学生通过图像来获取对新概念的直观印

概

念

形

成

所对的弧与它所在圆的半径的比值是一个常数，即

弧度制与角度制的换算

ABAB定值.

rr

2．

定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1导学生思考ABAB=

rr弧度的角，弧度记作rad。

这种以弧度为单位来度定值，并与学生一起探究相2．通过和学生一起探量角的制度叫做弧度制。等的原因：设n，AB究，使学生明白新概注：今后在用弧度制表示弧长为l，半径为OAr，念的由来，从而加深角的时候，弧度二字或rad则理解。

可以略去不写。

2rl23．

与角度制相比：

ln,n，

360r360

(1)弧度制是以“弧度”为等式右端不含半

单位的度量角的单位制，角度可以看出，表示弧长与半径的比值

制是以“度”为单位来度量角径，只与的大小

的单位制；（2）1弧度是弧跟半径无关，

长等于半径长的弧所对的圆有关。

结论：可以用圆的半径

心角的大小，而1度是圆周的作单位去度量角。

1所对的圆心角的大小；2．

在给出弧度的定义之

360后，请同学们讨论弧度

（3）弧度制是十进制，而角制与角度制的区别和联

度制是六十进制；（4）以弧系，教师加以概括总结。

3．通过对比，让学生度和度为单位的角，都是一个l3．

用公式求圆心角对知识进行类比、迁与半径无关的定值。

rl时，应强调其结果是圆移和联想，加深对概4．

公式：，表示的是r心角的弧度数，并要求念的理解；通过分组在半径为r的圆中，弧长学生掌握此公式的变形讨论，加强学生间的为l的弧所对的圆心角是形式：lr和交流和合作，发挥他

rad。

l们学习的主动性。

r(0)。

4．由于在物理上计算

角速度时要经常用到此公式，因此要求学生掌握它及其两个变形。

1．

用角度制和弧度制度量1．

由上面的公式可以计算1．让学生意识到相互给定弧长和半径的圆心转换得必要性和重要角，零角既是0角，又是角的弧度，请同学们考0 rad角，同一个非零角的性，激发学生积极思虑一下，人给一个角度度数和弧度数是不同的。

考问题。

时怎么换算成弧度呢？2．

周角的弧度数：

反过来又该怎么做呢？

2．从特殊到一般，是180

rad 2．

先引导学生计算周角的人类认识事物的一般3．

换算公式：

弧度数，在此基础上再规律，让学生从某一180来考虑换算问题，并和个简单的、特殊的情



rad=, 学生一起推导出两个换况开始着手，更利于算公式。补充负角所对教学的开展和学生思应的弧度数。

所形成的圆弧的长度是不同的，如图所示，但都对应同一个圆心角。

教师用多媒体演示，引象。

弧度制与角度制的换算

3．

通过学生的实际计算和运用，让学生熟练掌握180特殊角的角度和弧度的4．特殊角的角度数与弧度数对应表。

的对应表

4．

同学分组讨论一下角的5．角的集合与实数集R之间集合与实数集的对应关建立起一种一一对应关系。

系。

6．把角度值n换算为弧度值答：一一对应。

的一个“算法”：

问：在这两种单位制下（1）给变量n和圆周率的都是一一对应吗？

近似值赋值；

由于每一个角都有唯一（2）如果角度值n是以“度、的一个实数（角度数或分、秒”形式给出，先把n化弧度数）与它对应，反为以“度”为单位的10进制过来，每一个实数也都表示；

有唯一的一个角和它对应，因此，无论用角度（3）计算，得出的结果180制还是弧度制，都能在赋给变量a；

角的集合与实数集R之（4）计算na，赋值给变量。

间建立起一种一一对应

关系。

5．根据上面的公式，带领学生写出由角度换算为弧度的算法，让学生自己写出由弧度换算角度的算法。

nn

rad. 维的拓展。

3．观察分析和小组讨论相结合，进一步加深学生对新知识的理解和掌握。

4．写算法一方面训练学生的逻辑思维能力，另一方面也为后面学习算法打下基础。

典型例题

例1

（1）把11230化成弧

例1、例2学生板书，教师度（精确到0.001）；

指导。

（2）把11230化成弧度（精确到）。

例2

把8化成度。

5例3

扇形AOB中，AB所对的圆心角是60，半径是50米，求AB的长l（精确到0.1米）。

例4

利用弧度制推导扇形通过例1和例2 让学生掌握弧度和角度换例3、例4教师讲解并板书，算的方法，例3 是弧在解题步骤的规范性上为长公式的应用，例4学生做好榜样。

是推导扇形面积公关于例4，请学生思考：把式，从而对相关问题扇形面积公式和三角形面的解决提供工具。

积公式进行类比，你会产生什么联想？

1lr,其2中l是扇形的弧长，r面积公式S是扇形的半径。

归纳小结

1．1弧度的角和弧度制的定义；

2．弧度与角度的换算；

3．弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

让学生谈谈本节课的收获，注重学生学习的自主教师归纳。

性，发表本节课的体验和收获。

布置作业

层次一：教材练习A，2，4，层次一的题目要求所有学通过分层作业，使不5。

生完成，层次二的题目要求同层次的学生进一步层次二：教材练习B，4；习中等以上水平的学生完成。

巩固本节课所学知题1-1A，2。

识。

附录（表格和图）：

度

0

30

45

60

90

120

135

150

180

225

270

315

360

235弧0



5

3

7

2







度

6432346424

B

B

l



r

O

r

A

A