2.1.2 向量的几何表示多媒体教案及点评

向量加法运算及其几何意义

教案

知识目标：

①通过物理学中的位移合成、力的合成等实例,认识理解向量加法的意义,体验数学知识发生、发展的过程.

②理解和掌握向量加法的运算,熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量. ③理解和掌握向量加法的运算律,能熟练地运用它们进行向量运算. 能力目标：

①观察能力：学会观察已知图形中的向量，判断哪些向量相等、相反、平行、共线，哪些向量是已知向量的和向量等等；

②运算能力：学会将两个（或多个）向量合成为一个向量

③应用能力：通过由实例到概念,由具体到抽象,培养学生的探究能力,使学生数学地思考问题,数学地解决问题，学会将实际问题转化为数学问题，并能够运用向量知识解决；

情感目标：

①有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；

②努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态；

③通过例2实际应用问题的教学，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念；

教学重点：

①求作两个向量和向量的法则；②向量加法的运算律；

教学难点：

求（两个向量）和向量的三角形法则与平行四边形法则的区别和联系。

教学方法：

启发式、探究式、类比

教学过程：

1、复习提问：

（1）、什么叫向量？

设计意图：巩固旧

既有大小又有方向的量叫向量

知识为学习新内（2）、什么叫平行（或共线）向量？

容做铺垫

方向相同或相反的非零向量

（3）、什么叫相等向量？

长度相等且方向相同的向量叫相等向量。

(4)、向量的最大特点是什么？

保持方向与长度时可以任意平移

2、新授

数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷，与数的运算类比，向量是否也能运算呢？我们从位移和力的合成及数的运算中得到启发，引进了向量的运算。

问题情境：

背景1：

过去春节期间由于大陆和台湾没有直航，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台北，这两次位移合成的结果是什么？（由位移得ABBCBC）

A上海

C台北

B香港

背景2：

设计意图：利用熟悉的物理知识引入使得学生学习时比较顺畅比较柔和没有生硬感，同时体现了学科之间的相互联系相辅相成。

2、把实际问题抽象为数学概念。

图a表示橡皮条在两个力的作用下沿GO伸长了EO

图b表示橡皮条在力F的作用下沿GO伸长了相同的长度EO

F 与F1 、F2之间的关系如何？

(OAOBOC)

探究1

如何定义两个向量的和？类比数的运算

1、向量加法的三角形法则

由物理学我们知道位移是既有大小又有方向的矢量

由背景1可知上海到香港的位移是向量AB，香港到台北的位移是向量BC，上海到台北的位移是向量AC，由位移的知识可知ABBCAC…..①。令AB=a，BC=b，AC=c则①为a+b=c，我们称向量c是向量a和b的和。求两个向量和的运算叫做向量的加法。

作法 1在平面内任取一点AA定义三角形法则：





abc

2作ABa,BCb探究1设计意图：

a

通过类比数的运算和

3则向量ACabB C 引例中的物理知识在b

探究的基础上，组织特点：首尾连，起指终

学生研讨自己在探究2.向量的加法的平行四边形法则

A

O 中的发现，通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对向量加法的认识从感性的a

cab

b

B C 认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。同时可以进行思想品德教育，中国的强大离不开物理学好物理的前提是学好数学，数学是物理的工具。

特点：起点同，对角线

作法:(1)在平面取一点O (2)以点O为起点以向量a,b为邻边作平行四边形AOBC. (3)则以点O为起点的对角线OC＝ab即cab

探究2：求和时用三角形法则与平行四边形法则

一样吗？比较一下两种法则

D a

C ab



b

ab

bb

A B a



A B a

特点：（通过平移）

特点：（通过平移）

首尾连，起指终

起点同，对角线

不同法则，效果相同

习题1.如图,已知向量a,b求作向量ab

（用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出）

探究2设计意图：通过对比两种法则使学生认识到解决问题并不是单一的方法可以多样化，培养学生思考创新的能力，同时可以从探究中对学生做适当的品德教育，使之认识到生活中遇到困难时有很多方法可以解决，要善于思考不要钻牛角筋。

a

b

习题1设计意图：学生通过练习题可加深对向量加法概念的理解。2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行，也可以按照三角形法则进行。体会方法不同结果相同的愉悦感，是学生增强学习数学的兴趣。

OAaABbOBab

作法1（三角形法则）：在平面内任取一点O,作,则作法2（平行四边形法则）：在平面内任取一点O，作OAa，OBb以OA、

OACB,连结OC,则→OCOAOBab

OB为邻边做

O

A O

A

B

B

C

探究3 特例：

探究3设计意图：通过特a

a

例让学生体会到三角形法b



b

则的使用范围更广和平行

四边形法则的应用条件，A

B

C

C

A

B 使学生对知识理解更加透

彻。

AC

ab

ACab

方向相同

方向相反

注:a00aa

在这种情况下，可以使用平行四边形法则吗？

不行它只能用三角形法则。所以三角形法则是通用的，平行四边形

法则只能用于不共线的向量。因此三角形法则更有优越性。

探究4：求2个以上向量的和向量

向量的多边形法则:多个向量相加,通过向量的平移将它们顺序“首尾相接",则以第一个向量的起点为起点,以最后一个向量的终点为终点的向量,即为这多个向量的和向量. 探究4设计意图：

如图：

过探究学生类

通

比两个向量的加

c

b

c

法得到三个甚至

a

多个向量的加法



→

a

法则，培养学生独b

立思考，动手尝abc

试，到发现结论的

能力体会成功的

感觉。

3、向量加法的运算律

b



(1) 交换律:abba

(

2

)

结合律

:



b

)



c



a



(b



c

)



a

b

(ab

a有了这两个法则，多个向量的加法就可以按照任意的次序和组合来进行了

应用举例

如图，一艘船从A点出发以23km的速度向垂直于对岸的应用举例设计意h

图：通过此例巩km流速为2，求船实际航行速度

方向行驶，同时河水的固新学知识，同h

的大小和方向。（用与时使学生认识到流速间的夹角表示）

数学来源生活同

时又解决生活中D

C

利用向量的平行四边形法则找出和速

的问题。

度的方向利用勾股定理求出AC的大

小

A

B

4、课堂练习

课堂练习设计意f

图：巩固所学知e

a+b=

识，学以至用，培d c+d=

f 养学生知识迁移g c a+b+d=

的能力。

c+d+e=

b a

5、小结

小结设计意图：要求学1 向量加法法则：

生不仅对知识体系进

行归纳，还要对本节课

a+b 中所体现的数学思想

方法及数学能力进行b

a a+b 总结。

三角形

a 平行四边形法则

2 运算性质:

(1) 交换律:abba

（3）a+0=0+a=a 6、作业设计：P861、2、3

(2) 结合律:(ab)ca(bc)作业设计设计意图：巩固所学的内容。对所学内容的检测、反馈与及时补充不足