信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学设计(教案)

1.4.3正切函数的性质与图象（1）

教学目的：

知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；

2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；

2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

德育目标：培养认真学习的精神；

教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；

教学难点：正切函数的性质。

授课类型：新授课

教学模式：

启发、诱导发现教学. 教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

问题：正弦曲线是怎样画的？

正切线? 练习正切线，画出下列各角的正切线：

．

下面我们来作正切函数和余切函数的图象．

二、讲解新课：

1．正切函数ytanx的定义域是什么？

x|x2．正切函数是不是周期函数？

k,kz

2tanxR且,xkxtaxn2,k，z



∴是ytanxxR,且xk

,kz的一个周期。

2是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

,的图象

223．作ytanx，x

说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；

（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

ytanxxR，且x

2kkz的图象，称“正切曲线”。

yy

322O0 2x3x 2（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线xk无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质

引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：x|x（2）值域：R 观察：当x从小于k

当x从大于2kZ所隔开的k,kz；

22

kz，xk时，tanx22（3）周期性：T；

kkz，x2。

k时，tanx（4）奇偶性：由tanxtanx知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间k,kkz内，函数单调递增。

225.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：

来源学+科+网Z+X+X+K]向左平移个ycotxtanxtanx——即将ytanx的图象，222单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得ycotx的图象

定义域：xR且xk,kz

值域：R，

当xk,ky0时，当kzxk,kkz时y0

22周期：T

奇偶性：奇函数

单调性：在区间k,k1上函数单调递减

6.讲解范例：

例1比较tan1317与tan的大小

45解：tan21317，

tan，tantan44552,ytanx在0,内单调递增，

52221317,tantan,即tantan

54545又：04tan4tan例2讨论函数ytanx的性质

4

略解：定义域：x|xR且xk,kz

4值域：R

奇偶性：非奇非偶函数

单调性：在k3,k上是增函数

44图象：可看作是ytanx的图象向左平移例3求函数y＝tan2x的定义域

解：由2x≠kπ＋单位4来源学§科§网

，(k∈Z) 2k得x≠＋，(k∈Z) 24∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠k＋，k∈Z｝

24例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0 解：画出y＝tanx在(－为：0＜x＜，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围22

2上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z) 22结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小

解：∵90°＜135°＜138°＜270°

又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数

∴tan135°＜tan138°

三、巩固与练习

P．71．练习2，3，6 求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象

解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠Z

即x≠2＋ｋπ，ｋ∈4＋k，ｋ∈Z

2∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠（2）设ｔ＝2x，由x≠4k，ｋ∈Z｝

24k，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z

22

∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）

即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）

（3）由tan2（x＋2）＝tan（2x＋π）＝tan2x

∴y＝tan2x的周期为2．

（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图

四、小

结：本节课学习了以下内容：来源学。科。网Z。X。X。K][来源:Zxxk.Com]

1.因为正切函数ytanx的定义域是{x|xR,xk2,kZ}，所以它的图象被x3,,......等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

222.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠k (k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的

2五、课后作业：

六、板书设计：