2.1.3 相等向量与共线向量公开课教案

复习引入

1.向量数乘的定义

实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作：a

(1)|a||||a|；

(2)①当0时，a的方向与a的方向相同；

②当0时.a的方向与a的方向相反；

③当0时，a0. 2．向量数乘的几何意义

由实数与向量积的定义知，实数与向量的积a的几何意义是：a可以由a同向或反向伸缩得到．当||1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的||倍得到a；当0||1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上缩短为原来的||倍得到a；当1时，a=a；当1时，a=-a，与a互为相反向量；当0时，a=0．实数与向量的积得几何意义也是求作向量a的作法．

3.向量数乘的运算律

设、为实数

结合律：(a)()a； 分配律：()aaa，(ab)ab

新课讲解：向量共线的条件 1．向量共线的条件

（1）当向量a0时，a与任一向量b共线．

（2）当向量a0时，对于向量b．如果有一个实数，使ba，那么由实数与向量的积的定义知b与a共线．

反之，已知向量b与a（a0）共线且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b||a|，那么当b与a同向时，ba；当b与a反向时，ba．

2．向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数，使ba，则向量b与非零向量a共线．

3．向量共线的性质定理

若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使ba．



要点诠释：

（1）两个向量定理中向量a均为非零向量，即两定理均不包括0与0共线的情况；

（2）a0是必要条件，否则a0，b0时，虽然b与a共线但不存在使ba；

（3）有且只有一个实数，使ba．

（4）a//bab(b0)是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一.

【典型例题】

．

共线向量与三点共线问题

例6.设两非零向量e1和e2不共线，

(1)如果ABe1e2,BC2e18e2,CD3(e1e2),求证A,B,D三点共线. (2)试确定实数k，使ke1e2和e1ke2共线. 【思路点拨】要证明A,B,D三点共线，须证存在使BD(e1e2)即可.而若ke1e2和e1ke2共线，则一定存在，使ke1e2(e1ke2). 【解析】(1)证明

ABe1e2,BDBCCD2e18e23(e1e2)5(e1e2)5AB, B，

AB,B共线，又有公共点D

∴A,B,D三点共线. (2)解

∵ke1e2

和e1ke2

共线，

∴存在，使ke1e2(e1ke2)，

则(k)e1(k1)e2,由于e1

和e2不共线，

只能有k0

则k1. k10【总结升华】本题充分地运用了向量共线的充要条件，即a,b共线存在使ba(正用与逆用) 举一反三：

【变式1】设e1和e2是两个不共线的非零向量，若向量AB3e12e2，

　BC2e14e2，CD2e14e2，试证明：A、C、D三点共线. 证明：ACABBC3e12e2(2e14e2)e12e2,

∴CAe12e2,又CD2e14e2,

∴CD2CA,

∴CD与CA共线，

∴A、C、D三点共线. 【变式2】设e1，e2是两个不共线的向量，AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值．

【解析】BDCDCBe14e2，若A，B，D三点共线，则AB与BD共线，则2∶1=k∶(―4)，k=―8．

类型六：向量在证明平面几何问题中的应用

例7．

如图，已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．

求证：EF1(ABDC)．

2【证明】取以点A为起点的向量，应用三角形法则求，如下图．

1AD．

21∵F是BC的中点，∴AF(ABAC)，

2∵E是AD的中点，∴AE又∵ACADDC，

111(ABADDC)(ABDC)AD．

2221111∴EFAFAE(ABDC)ADAD(ABDC)．

2222∴AF【总结升华】

掌握向量的线性运算是关键，利用封闭图形的依次各向量之和为零向量进行变形而得到．

举一反三：

【变式1】

已知：如图所示，在四边形ABCD中，对角AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB．

求证：四边形ABCD是平行四边形（要求用向量的方法证明）．

【证明】根据向量加法的三角形法则，

有ABAOOB，DCDOOC，

又∵AOOC，DOOB，∴AOOBDOOC．

∴ABDC．∴AB∥DC，AB=DC．

即AB与DC平行且相等．

∴四边形ABCD是平行四边形．

【总结升华】（1）用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题．

（2）注意以下两个问题：

①法则的灵活应用；

②要注意有向线段表示的向量相等，说明有向线段所在直线平行或重合且长度相等．