信息技术应用 利用正切线画函数y=tan x，x∈（-π/2, π/2)的图象教学目标设计

1.4.3

正切函数的性质与图象

一、A组

1.当x∈

-

时,函数y=tan |x|的图象(

)

A.关于原点对称

B.关于y轴对称

C.关于x轴对称

D.没有对称轴

解析:∵x∈

-

,f(-x)=tan |-x|=tan |x|=f(x),∴f(x)为偶函数,即y=tan |x|的图象关于y轴对称.

答案:B 2.(2016·河北衡水二中月考)函数f(x)=tan

- 的单调递减区间为(

) A. -

,k∈Z

B. -

,k∈Z

C. -

,k∈Z

D.(kπ,(k+1)π),k∈Z

解析:因为f(x)=tan

- =-tan -

, 所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan -

的单调递增区间.

故kπ-

≤x-

≤kπ+

,k∈Z,kπ-

≤x≤kπ+

,k∈Z.所以原函数的单调递减区间是 -

答案:B 3.函数f(x)=tan ax(a>0)的图象的相邻两支截直线y=

所得线段长为2,则a的值为(

) A.

,k∈Z.

B.

C.π

D.1 解析:由已知得f(x)的周期为2,∴

=2.∴a=

.

答案:A

4.函数f(x)=

- 的奇偶性是(

) A.是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数

解析:f(x)的定义域为

∈ , ∴f(-x)=

-

-

- =-f(x).

∴f(x)是奇函数.

答案:A 5.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈

-图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(

)

-

-

内的大致

A.①②③④

C.③②④①

B.①③④②

D.①②④③

解析:y=tan(-x)=-tan x在

-

上是减函数,只有图象d符合,即d对应③.

答案:D 6.已知函数y=3tan

的最小正周期是

,则ω=

.

解析:由题意知,T=

,∴ω=±2.

答案:±2 7.函数y=3tan

的对称中心的坐标是

.

解析:由x+

,k∈Z,得x=

,k∈Z,

即对称中心坐标是

-

(k∈Z).

答案:

-

(k∈Z) 8.满足tan

≥-

的x的集合是

.

解析:把x+

看作一个整体,利用正切函数的图象可得kπ-

≤x+

,k∈Z,解得kπ-

≤x

,k∈Z.故满足tan

≥-

的x的集合是 -

∈

∈

.

答案: -9.求函数y=tan -

的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.

解:由4x-

≠kπ+

,得x≠

,

∴所求定义域为

又f

没有意义,

∈

,值域为R,周期T=

.

f

-

=tan

-

-

=0,

∴f(x)是非奇非偶函数.

令-

+kπ<4x-

+kπ,k∈Z, 解得

,k∈Z.

∴f(x)的单调递增区间是

-

(k∈Z),不存在单调递减区间.

10.已知函数f(x)=2tan

(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于2π,求f(x)的单调递增区间.

解:由题意知,函数f(x)的周期为2π, 则

=2π,由于ω>0,故ω=

.

所以f(x)=2tan

.

再由kπ-

x+

,k∈Z,

得2kπ-

,k∈Z,

即函数f(x)的单调递增区间为 -

,k∈Z.

11.导学号08720032求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈

-

的值域.

解:∵-

≤x≤

,∴-1≤tan x≤1.

令tan x=t,则t∈[-1,1].

∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.

∴当t=-1,即x=-

时,ymin=-4, 当t=1,即x=

时,ymax=4.

故所求函数的值域为[-4,4].

二、B组

1.函数y= 的定义域为(

) A. ∈

∈

B. ∈

∈

C. ∈

∈

D. ∈

-

∈

解析:由题意知

有意义

有意义

且

即

∈

且

∈

得

∈

∈

故x≠

(k∈Z).

且答案:A 2.函数f(x)=tan -

与函数g(x)=sin

- 的最小正周期相同,则ω=(

)

A.±1 B.1 C.±2 D.2 解析:∵函数g(x)的周期为

=π, ∴

=π,∴ω=±1.

答案:A 3.设a=lo

tan 70°,b=lo

sin 25°,c=

°

,则有(

)

A.a

B.b

C.c

D.a

解析:∵tan 70°>tan 45°=1,∴a=lo

tan 70°<0.

又∵0

, ∴b=lo

sin 25°>lo

=1.

而c=

°

∈(0,1),∴b>c>a.

答案:D 4.已知函数y=tan ωx在

-

内是减函数,则ω的取值范围为

.解析:由题意可知ω<0,又

-

-

.

故-1≤ω<0.

答案:-1≤ω<0

5.已知y=2tan(ωx+φ)

的部分图象如图所示,则ω=

,φ=

.

解析:由题图可知,当x=

时,y=2, 即2tan

=2,tan

=1, 即

ω+φ=kπ+

(k∈Z).

①

又直线x=

为它的一条渐近线, ∴

ω+φ=kπ+

(k∈Z),

而ω>0,|φ|<

,由①②可得

-

②

答案:2

-

6.方程

-tan x=0在x∈

-

内的根的个数为

.

解析:分别画出y=

与y=tan x在x∈

-

内的图象,如图.

易知y=

与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.

答案:2 7.函数f(x)=tan(3x+φ)图象的一个对称中心是

,其中0<φ<

,试求函数f(x)的单调区间.

解:由于函数y=tan x的对称中心为

,其中k∈Z, 则

+φ=

,即φ=

.

由于0<φ<

,所以当k=2时,φ=

.

故函数解析式为f(x)=tan

.

由于正切函数y=tan x在区间 -

(k∈Z)上为增函数,则令kπ-

<3x+

,

解得

,k∈Z,

故函数的单调增区间为

-

没有单调减区间.

,k∈Z.

8.导学号08720033设函数f(x)=tan

-

.

(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间; (2)求不等式-1≤f(x)≤

的解集; (3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.

解:(1)由

+kπ(k∈Z),得x≠

+2kπ,

∴f(x)的定义域是 ∈

∵ω=

,∴周期T=

=2π.

∈

.

由-

+kπ<

+kπ(k∈Z), 得-

+2kπ

+2kπ(k∈Z).

∴函数f(x)的单调递增区间是

-

(k∈Z).

(2)由-1≤tan

-

, 得-

+kπ≤

+kπ(k∈Z), 解得

+2kπ≤x≤

+2kπ(k∈Z).

∴不等式-1≤f(x)≤

的解集是

(3)令

=0,则x=

.

令

,则x=

.

令

=-

,则x=-

.

∈

.

∴函数y=tan

-

的图象与x轴的一个交点坐标是

,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-

,x=

.从而得函数y=f(x)在区间

-

内的简图(如图所示).