复习参考题课件配套优秀获奖教案

用样本估计总体的方法

重点：复习如何使用样本估计总体

难点：掌握在频率分布直方图中，正确地估计中位数、平均数

学情分析：学生基础不扎实，懒于思考、复习，考虑通过填写定义、讲练结合等方式，让学生对各种估计题型，能够掌握得更加熟练、精准。

[核心速填] 1．用样本估计总体

用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图．当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用茎叶图刻画数据比较方便．

2．样本的数字特征

样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差．

3．求回归方程的步骤：

(1)先把数据制成表，从表中计算出x，yn2，xi，xiyi；

i＝1i＝1nxy－n

x

y^＝b，^.公式为(2)计算回归系数^a，bx－n

x^

x.a＝y－b^niii＝1n2i2i＝1

^＝b^x＋^(3)写出回归方程ya. [体系构建]

1

[题型探究] 一、

用样本的频率分布估计总体分布

某地教育部门为了调查学生在数学考试中的有关信息，从上次考试的10 000名考生中用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图2-1)，则这10 000名考生的数学成绩在[140,150]内的约有________人.

图2-1 [思路探究]

根据频率分布直方图求出样本中数学成绩在[140,150]内的频率，可估计总体中成绩在[140,150]内的人数．

800

[由样本的频率分布直方图知数学成绩在[140,150]内的频率是相应小矩形的面积，即0.008×10＝0.08，因此这10 000名考生中数学成绩在[140,150]内的约有10 000×0.08＝800(人)．] [规律方法]

用样本的频率分布估计总体分布

2

通常要对样本数据进行列表、作图处理.这类问题采取的图表主要有：条形图、直方图、茎叶图、频率分布折线图、扇形图等.它们的主要优点是直观，能够清楚表示总体的分布走势.除茎叶图外，其他几种图表法的缺点是原始数据信息有丢失. [跟踪训练] 1．已知总体数据均在[10,70]内，从中抽取一个容量为20的样本，分组后对应组的频数如下表所示：

分组

频数

[10,20)

2

[20,30)

3

[30,40)

4

[40,50)

5

[50,60)

4

[60,70] 2 则总体数据在区间[10,50)内的频率约为(

) A．0.5

C．0.6

B．0.25 D．0.7 D

[由频率分布表可知样本数据在区间[10,50)内的频数等于[10,20)，14[20,30)，[30,40)，[40,50)四个分组的频数之和，即2＋3＋4＋5＝14，频率为20＝0.7. 由样本的频率分布估计总体分布的思想可知，总体数据在区间[10,50)内的频率约为0.7.] 二、 用样本的数字特征估计总体的数字特征

在射击比赛中，甲、乙两名运动员分在同一小组，给出了他们命中的环数如下表：

甲

乙

9

2

6

4

7

6

6

8

2

7

7

8

7

9

9

7

8

9

9 10 赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者，如果你是裁判，你将给出怎样的评判？

[思路探究]

规则不同，评判结果有所不同．

[解]

为了分析的方便，先计算两人的统计指标如下表所示．

甲

乙

平均环数

7

7

方差

4

5.4

3 中位数

7

7.5

命中10环次数

0 1

规则1：平均环数和方差相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看方差，方差小者胜，则甲胜．

规则2：平均环数与中位数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看中位数，中位数大者胜，则乙胜．

规则3：平均环数与命中10环次数相结合，平均环数高者胜．若平均环数相等，则再看命中10环次数，命中10环次数多者胜，则乙胜．

以上规则都是以平均环数为第一标准，如果比赛规则是看命中7环以上或10环的次数，那么就不需要先看平均环数了．

[规律方法]

样本的数字特征可分为两大类，一类反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数；另一类反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差.通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征.有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点. [跟踪训练] 2．如图2-2是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是(

)

图2-2 A．x＝9 B．y＝8 C．乙的成绩的中位数为26 D．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差

B

[甲的成绩极差为31，所以最高成绩为39.x＝9；由乙平均值是24，得y＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6；由茎叶图知乙成绩的中位数为26，对比甲、乙成绩分布发现，乙成绩较集中，其方差较小. ] 三、 用线性回归方程对总体进行估计

理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：

4

年份202x(年)

人口数y(十万)

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)指出x与y是否线性相关；

0

5

1

7

2

8

3

11

4 19 (3)若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x^＝b^x＋^的回归方程ya；

(4)据此估计2025年该城市人口总数．

(参数数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30) [解]

(1)数据的散点图如图：

(2)由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关．

11(3)由表知：x＝5×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，y＝5×(5＋7＋8＋11＋19)＝10. ^＝∴bi＝1xiyi－5x

y2x2i－5x55＝3.2，

i＝1^^

x＝3.6，

a＝y－b^＝3.2x＋3.6. ∴回归方程为y^＝19.6(十万)＝196万．故2025年该城市人口总数约为196(4)当x＝5时，y万．

[规律方法]

对两个变量进行研究，通常是先作出两个变量之间的散点图，根据散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系，如果具有，就可以应用最

5

小二乘法求线性回归直线方程.由于样本可以反映总体，所以可以利用所求的线性回归直线方程，对这两个变量所确定的总体进行估计，即根据一个变量的取值，预测另一个变量的取值. [跟踪训练] 3．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：

年份

时间代号t 储蓄存款y(千亿元)

2013

1

5

2014

2

6

2015

3

7

2016

4

8

2017 5 10 ^＝b^

t＋^(1)求y关于t的回归方程ya；

(2)用所求回归方程预测该地区2018年(t＝6)的人民币储蓄存款．

[解]

(1)列表计算如下：

i 1

2

3

4

5

∑

ti

1

2

3

4

5

15

yi

5

6

7

8

10

36

t2i

1

4

9

16

25

55

tiyi

5 12 21 32 50 120 1n15这里n＝5，t＝nti＝5＝3，

i＝11n36y＝nyi＝5＝7.2. i＝1i＝1ti2－nt2＝55－5×32＝10，

nni＝1tiyi－n

t

y＝120－5×3×7.2＝12，

^＝12＝1.2，^^

t＝7.2－1.2×3＝3.6，

从而ba＝y－b10^＝1.2t＋3.6. 故所求回归方程为y

6

^(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2018年的人民币储蓄存款为y＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．

7