2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示优秀教案设计

平面向量的正交分解及坐标表示的教学设计

一. 教材分析：

【教材中所处位置】：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。（强调向量应用意识）

【课时安排】：2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的坐标表示，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。考虑到学生的接受能力，本教学设计将内容2，3安排为一个课时。

【教学目标】

1.知识目标：

①使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；

②掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

2.能力目标：

①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；

②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。

3.德育目标：

在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。

【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算

突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想. 【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解

突破办法：设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析.

虽然教材中涉及平面向量坐标表示的笔墨不多，但其中值得体会理解的东西还是比较多，比较有“内涵”。因为之前所学的定义、概念、

定理在这里得到了综合应用，共同作用得出了平面向量的坐标表示。第一课时意图体现知识的形成过程；第二课时向量坐标运算应用以及向量平行的坐标表示。

二. 学情分析：

对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这块知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们. 教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，不是简单地告诉他们如何写出向量的坐标．要注意引导学生积极参与知识形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结知识获得过程中的思想方法.不要简化知识发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解知识的本质. 三. 教学问题诊断分析

1．通过以往该课的教学，大多学生只是麻木地记住向量的坐标是怎样表示，根本不去理解其发生过程。记住结果，学生虽然可以利用它求一系列题目，但这样不利于学生思维深度性和活跃性的训练。

2.向量的坐标表示的形成过程比较枯燥，为了提高学生学习的信心和兴趣，教师需要有一个比较有新意的引入。

3．该课时在新旧教材中差异并不大，但如何体现新课程的“新”呢？我认为应该从课型上进行改变，讨论、合作探究的学习方式能激发学生学习的主动性，课堂上，在教师引导下教师与学生；学生与学生相互讨论合作探究，使教师与学生、学生与学生之间面对面在一起学习，增进彼此亲近感，消除了学生的焦虑心理，学生的主动性受到了激发，使全班学生都能获得成就感。另外，教师只起引导作用，把绝大部分讲话时间让给学生，讨论中有了更多的学生在讲话，因此，在这种探究性学习中，学生说的机会是传统数学课堂的几倍甚至十几倍。整个课

堂气氛很轻松、热烈，突出了学生的主体地位，调动了学生学习的主动性。

五．教学方法：启发式谈话法

教 具：多媒体课件

授课类型：新授课

六.教学过程：

（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）

如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2，这三个力的方向分别如何？三者有何相互关系？F1G=F1+F2叫做重力G的分解GF2探究：给定平面内两个向量e1、e2，平面内任一向量是否都可以在这两向量方向上分解呢？NBAe2e1M类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+ λ2a2

（ⅱ）．新课讲解

1.

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.选取两个互相垂直的向量作为基底时会给解题带来方便λ2a2aλ1a1

2．

如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|=4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？BPaja23i2jOiA思考：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，能否用坐标表示？

3．

在平面坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i

、

j作为基底，由平面向量基本定理可知，对任一向量a，有且只有一对实数x、y使得yaxiyj.yjaj

oxiix

4．

例如图，写出向量a，b，c，d的坐标.5yA解：由图可知2aAA1AA22i3jb　a(2,3)同理，2AaA1－4－2O24b2i3j(2,3)c2i3j(2,3)c－2xdd2i3j

5. (2,3)－5

yA(x,

)ya如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=，a则点A的位置由a 唯一确定。xjaiOaOA(xiyjA(x,y),xy)设OA=xi+，yj则向量OA的坐标（x,y就)是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x,y也)就是向量OA的坐标。把向量的坐标和点的坐标统一起来

6.方法总结

求向量的方法：一、是把

a

正交分解，看

a

在

x

轴，

y

轴上的分向量的大小，把向量

a

用

i、j 表示出来，进而得到向量

a

的坐标。二、把向量

a

移到坐标原点，则向量

a 终点的坐标就是向量

a 的坐标。

7.

例题

例：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标.解法2：由平行四边形法则可得yCBDBDBABC (2(1),13)(3(1),43) (3,1)而ODOBBDAOx (1,3)(3,1) (2,2)所以顶点D的坐标为（2，2）

8.练习

练习1.若M(3,2),N(5,1)且MP求P点的坐标.2.若A(0,1),B(1,2),C(3,4),则1MN,2AB2BC .3、已知向量a(x3,x23x4)与AB相等，其中（A1，2），（B3，2），求x.（iii）．课堂小结：

课堂总结:1.对向量坐标表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐标;(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)相等的向量有相等的坐标.2.平面向量的坐标运算:(1)若a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2),a(x1,y1)(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),AB(x2x1,y2y1)3.能初步运用向量解决平面几何问题:“向量”的思想

4.回顾反思所学内容，你有那些体会和收获？

课内师生可以在课内共同回顾与反思本节课的收获，课外也可以以数学小作文的形式或利用校园网络上的论坛，BBS，博客等让学生就自己认识最深刻的某一个点或某一个具体问题谈谈自己的心得体会，或者提出自己的问题．

（iv）.作业布置

作业本2.3.2 八.知识结构

向量化的方块字“陈”引入向量的坐标表示的形成过程探究简单的向量坐标加减运算

九．【课后反思】

通过这节课的实验，使自己对数学教育的认识上有了提高，课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，这实际上对我们教师提出了更高的要求：“教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者，组织者和合作者”，因此，上课不止是教会学生如何使用结论，更重要是教会学生如何获得结论。本课是我对这一要求的一种探索与尝试。现总结为以下三个方面。