2.5.2 向量在物理中的应用举例优质课教案推荐

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2.5.1平面几何中的向量方法

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。下面通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用。

问题探究：

例1平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图,AC=AB+AD,DB=AB-AD,你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻D C A B 边长度之间的关系吗？分析：不妨设AB=a，AD=b，则

AC=a+b，DB=a-b，

AB=a，AD=b。

涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算AC与

222

222DB

2解：AC= AC

·AC=（a+b）·（a-b）

=a·a+a·b+b·a+b·b

=a+2a·b+b。

22同理

DB=a-2a·b+b。

观察（1）、（2）两式的特点，我们发现，（1）+（2）得

AC+2222DB=2（a+b）=2（AB+2222。

AD）2即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。

思考

如果不用向量的方法，能证明上述关系吗？

平面几何经常涉及距离（线段长度）、夹角问题，而平面向量的运算，特别第

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是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用下列方法解决部分几何问题。解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量的运算，特别是数量积来研究电、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系得到几何问题的结论。这就是用向量方法解决几何问题的“三部曲”：

（1）

建立皮面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题; （2）

通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）

把运算结果“翻译”成几何关系。

例2 如图2.5-2，连接□ABCD的一个顶点至AD、DC边的中点E、F，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？F D T E A B R C

分析：由于R、T是对角线AC上的两点要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关系即可。又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断AR、AD、AT、AC之间的关系即可。

解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：

设AB=a，AD=b，AR=r，AT=t，则AC=a+b。

第二步，通过向量计算，研究几何元素之间的关系：

由于AR与AC共线，所以，我们设

，n是实数，

r=n（a+b）又因为

EB=AB-AE=a-1b

21b）,因为AR=AE+ER，

2ER与EB共线，所以我们设

ER=EB=m（a-11。

b+m（a-b）2211

因此

n（a+b）= b+m（a-b）

22所以

r=第

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即

（n-m）a

+（n+m1

）b

=0

2

由于向量a、b不共线，要使上式为0，必须

nm0



m-1n 02112解得n=m=，所以AR

=AC, AT=AC

333第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：

AR=RT=TC

思考：

用演绎证明的方法如何证明本题的结论？

2.5.2向量在物理中的应用举例

问题探究：

例3在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？

分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型。只要分析清楚F、G和角度三者之间的关系（其F中F为F1、F2的合力），就得到了问题的数学解释。

解：不妨设| F1|=| F2|,由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识可以知道

GF1=2cosq

180逐qF1F2由上面的式子，我们发现：当q由0qq渐变大时，由090逐渐变大，cos的值由22大逐渐变小，因此F1由小逐渐变大，即F1F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力

G思考：

（1）

θ为何值时，

|F1|最小，最小值是多少？

（2）

|F1|能等于|G|吗？为什么？

例4

如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m

一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度v1=10km/h

,水流速度v2=2km/h,问行驶航程最短时，所用时间是

(精确到0.1 min)?多少

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分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图

解：|v|=|v1|2|v2|2=96（km/h），

所以

t=0.5d=×60=3.1（min）. |v|96答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.

小结：

物理问题

(实际问题）

向量问题

(数学模型) 解释和验证相关物理现象

数学问题

的解决

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