2.1.3 相等向量与共线向量教学实录

湘阴县第二中学高一数学备课组

[核心必知] 1．预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P74～P76的内容，回答下列问题．

(1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？

提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．

(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

提示：用有向线段．

(3)若向量a与向量b相等，则它们应具备什么条件？

提示：长度相等且方向相同．

2．归纳总结，核心必记

(1)向量的概念

数学中，我们把像力、位移等这种既有大小，又有方向的量叫做向量．

(2)有向线段

带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度．

(3)向量的表示方法

①向量可以用有向线段表示．向量||．

②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母终点字母表示，例如，(4)几种特殊的向量

①零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0. ②单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量．

③相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．

④平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a和b平行，记作a∥b；规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．

[问题思考] (1)两个向量能比较大小吗？

的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作，，. ，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起点和

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提示：不能．因为向量是具有方向的量．

(2)向量就是有向线段，这种说法对吗？

提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．

(3)“若a∥b，且b∥c，则a∥c”这个说法对吗？

提示：不对，若b＝0，则a、c均可以是任意向量，所以a、c不一定平行．平面几何中平行的传递性：a∥b，且b∥c，则a∥c，在向量的平行中并不适用．解题时我们也要充分考虑0的特殊性．

讲一讲

1．下列说法正确的有________．(填序号) ①若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

②若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

④向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．

[尝试解答]

①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系．

②正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b.

③不正确．依据规定：0与任一向量平行．

④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．

答案：②⑤

解决与向量概念有关问题的方法

解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．

练一练

1．下列说法错误的有________．(填上你认为所有符合的序号) (1)两个单位向量不可能平行；

(2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行；

(3)当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.

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解析：(1)错误，单位向量也可以平行；

(2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；

(3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．

答案：(1)(2)(3)

讲一讲

2．(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①②③，使|，使|，使||＝42，点A在点O北偏东45°；

|＝4，点B在点A正东；

|＝6，点C在点B北偏东30°. [尝试解答]

(1)由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是 (2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与如图所示．

纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量

②由于点B在点A正东方向处，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方如图所示．

格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量③由于点C在点B北偏东30°处，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向

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量如图所示．

答案：(1)12

用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

练一练

2．一辆汽车从A出发向西行驶了100 km到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200 km到达C点，又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

(1)作出向量(2)求||. 如图所示．

；

解：(1)向量

(2)由题意，易知

所以在四边形ABCD中，AB綊CD，

所以四边形ABCD为平行四边形，

[思考1]

两个向量相等的条件是什么？

提示：方向相同，模相等．

[思考2]

两个向量共线的条件是什么？

名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个向量为平行向量，也叫做共线向量.0与任意向量共线．

讲一讲

3．如图所示，四边形ABCD与ABDE是平行四边形．

方向相反，故共线．

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(1)找出与向量(2)找出与向量共线的向量；

相等的向量．

方向相同，

与长度相等且方向相同，方[尝试解答]

(1)依据图形可知向相反，所以与向量共线的向量为(2)由四边形ABCD与ABDE是平行四边形，知所以与向量相等的向量为

寻找共线向量或相等向量的方法

(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．练一练

13．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC3a的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则

3

(1)与向量(2)与向量(3)与向量相等的向量有________；

共线，且模相等的向量有________；

共线，且模相等的向量有________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————

1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用．

2．要重点掌握向量的三个问题

(1)向量有关概念的辨析，见讲1；

(2)向量的表示，见讲2；

(3)相等向量与共线向量的应用，见讲3.

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3．本节课要注意两个区别

(1)向量与数量

①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向．

②数量可以比较大小，向量不能比较大小．

(2)向量与有向线段

①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由移动的．

②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．