2.5.2 向量在物理中的应用举例名师教学视频（文字实录）

2.5.2向量在物理中的应用举例

一、教学目标：

知识与技能：

运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则），通过力的合成与分解的物理模型，速度的合成与分解的物理模型解决简单的物理问题。

过程与方法：

通过对具体问题的探究解决，培养学生的探究意识和应用意识，提高应用数学的能力．体会向量的工具作用．养成善于发现生活中的数学，以及数学和各学科之间的内在联系．

情感、态度与价值观：

通过学习体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力，体会数学在现实生活中的作用。

二．重点难点 重点：1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法．

难点：选择适当的方法，建议以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题. 三、教材与学情分析

教材分析：向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段。它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰。并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题的认识更深刻。

用向量研究物理问题的相关知识．(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量，那么它们的合成与分解就是向量的加、减法，运动的叠加亦用到向量的合成；(2)动量是数乘向量；(3)功即是力与所产生位移的数量积。

用向量知识研究物理问题的基本思路和方法：(1)通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；(2)认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；(3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题。

例3是日常生活中经常遇到的问题，学生会有两人共同提一个包以及单杠上引体向上运动的经验，但是仅凭经验并不严谨，从数学角度进行解释，引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，将实际现象抽象为数学模型，得到模型后，就是一个简单的向量问题。

例4的关键在于对“行驶航程”的意义的解释，即船必须垂直于河岸行驶，这时船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸。注重向量模型的运用，引导解决现实中的一些物理

和几何问题，这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用以及向量的工具作用。

学情分析：学生已经学习了向量的概念及其运算，对向量的运用有了一定的知识基础，学生学习本节的困难在于如何将实际问题转化为向量问题。

四、教学方法

问题引导，主动探究，启发式教学，小组合作探究。

五、教学过程

（一）复习旧知，引入新知

复习引入：用向量解决几何问题的三步曲是什么？

（1）几何问题向量化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题；

（2）向量关系运算化：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）向量关系几何化：把运算结果“翻译”成几何元素。

（二）新知探究

探究点1、利用向量解释力学现象

例1、（1）两个人共提一个旅行包，夹角大小与用力的大小有什么关系？

（2）在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角与用力的大小有什么关系？

教师：由日常生活中的具体例子，让学生思考，实际问题的提出说明引入向量的必要性。

学生：根据生活的经验回答问题。

教师给出提示，但是如何从数学的角度解释这种现象呢？

问题1 ：对物体进行简单的受力分析，若两只手臂的拉力为F1，F2，物体的重力为G，

那么F1,F2,G之间具有什么关系？

提示：F1F2G0

问题2:将前面的问题可以抽象为如图所示的数学模型，假设两只手臂的拉力大小相等即

F1F2，夹角为，那么F

,G,之间的关系如何？

提示：由向量的平行四边形法则、力的平衡

及三角形的知识可以知道：

F1G2cos2

问题3：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？

提示：由前面的式子发现在0180逐渐变大时，逐渐变大，cos的值由大逐渐22变小。

F1G2cos2的定义域为0180，是增函数。说明F夹角越大1,F2越费力，夹角越小越省力。

问题4：为何值时，F1最小，最小值是多少？

F1能等于G吗？为什么？

提示：0时，F1最小，最小值

G2

120时，F1=G. 总结提升：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验。通过以上连续四个问题的设置，层层递进，环环相扣，引导学生从数学角度即用向量方法分析解决上面生活中的现象。本例的关键是作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型，从数学角度进行解释，这就是本例活动中所完成的事情．充分利用好这个模型，为解决其他物理问题打下基础．得到模型后就可以发现，这是一个很简单的向量问题，这也是向量工具优越性的具体体现. 并进一步归纳出此类型题的解题步骤（1）问题转化，把物理问题转化为数学问题；（2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；（3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；（4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题。

学以致用：

用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________．

分析：①在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？

10N

120o

②绳子OA与绳子OB的拉力有什么关系？

学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0；②F1＝F2．

③如果将绳子OA的拉力表示为向量OA，绳子OB的拉力表示为向量OB，重力表示为向量OC，则向量OA，OB，OC之间有什么关系？

学生结论：OA+OB+OC＝0．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．

探究点2 利用向量方法解决速度问题

C A D B 120

O o例2.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸，已知船的速度v110km/h，水流速度v22km/h，问行驶航程最短时，利用时间是多少？（精确到0.1min） 分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短.考虑到水的速度，要使船行驶最短航程，那么船的速度和水流速度的合速度v必须垂直于对岸。

学生思考、讨论、交流在此基础上完成本例的解答。

将实际问题抽象为如图所示的数学模型，进行求解。

v=解：v1-v2d22=96(km/h)

0.5所以 t==603.1(min)96v答：行驶航程最短时，所用时间是3.1 min. 学以致用：一艘船用5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．

→→→【解析】如图，OA表示水流速度，OB表示船向垂直于对岸行驶的速度，OC表示船实际速→度，∠AOC＝30°，|OB|＝5km/h.

∵四边形OACB为矩形，

→→→|AC||OB||OA|＝＝＝53(km/h)，

tan30°tan30°→→|OA||OC|＝＝10(km/h)，

cos30°∴水流速度为53km/h，船实际速度为10km/h.

总结提升：类似于力的合成与分解，运用向量的知识解决速度的合成与分解，首先也是建立数学模型，即利用向量的加减运算（平行四边形法则或三角形法则），速度、位移公式以及解三角形知识，把物理问题转化为数学问题。

（三）知识体系小结

（四）作业布置

课本习题2.5A组3、4题，B组1、2题

七、教学反思

1．本教案设计主要是采用例题教学，让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。重在解决两个问题，一是把物理问题转化为数学模型，即将物理量之间的关系抽象成数学模型；二是用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．重点放在这两个中的第一个上，注重引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系．通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题，然后利用向量知识解决这个向量问题．

2．经历是最好的老师，经历会让学生的印象更加深刻。充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程，这也是学习数学，领悟思想方法的最好载体．学生这种经历的实践活动越多，解决实际问题的方法就越恰当而简捷．教科书中对本节的两个例题的处理方法，都不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法，就足以说明这一点．

3．突出数形结合的思想．教科书例题都是先画图进行分析的，本教案的设计中也突出了这一点．让学生在活动的时候就先想到画图，并在这个活动中，体会数形结合的应用，体会数学具有广泛的应用，体会向量这个工具的优越性．