小结特级教师教学实录

平面向量小结与复习

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具．向量不仅和数一样也能进行计算，而且运用向量的有关知识还能有效的解决数学和物理等学科中的很多问题．因此，通过系统复习，同学们务必理解本模块所涉及的许多概念，熟练地进行向量的基本运算，并掌握向量的简单运用．

一、有关概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或称模）．

2．零向量：长度为量的向量，方向是任意的. 3．单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 4．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。规定零向量与任何向量平行. 5．相等向量：长度相等且方向相同的向量. 6．向量的几何表示：用一条有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向. 二、基本运算

1．加法运算

（1）加法的几何运算的法则：①三角形法则（图1）；②平行四边形法则（图2）.

（2）加法的坐标运算：设，则. 2．减法运算

（1）减法的几何运算的三角形法则（图3）. （2）减法的坐标运算：设，则.

设，则. 3．实数与向量的积

（1）定义：实数与向量的乘积是一个向量，记做，它的模.

当时，与同向；当时，与反向；当时，. （2）运算律：；；. （3）坐标运算：设，则. 4．平面向量的数量积

（1）定义：，特别地，. （2）运算律：；；. （3）坐标运算：设，则. 三、定理公式

1．平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数，使. 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.此定理又叫做平面向量的分解定理，当时且与轴的正向相同时，又称正交分解. 2．两个向量平行的充要条件：；

设，则. 3．两个向量垂直的充要条件：；

设，则. 4．向量的模：. 5．向量在上的投影为. 6．向量与的夹角：. 四、典型例题

1．概念辨析题型

例1．是非零不共线向量，下列命题：

（1）；（2）；（3）不垂直；（4）。其中正确的是

A.（1）（2）

B.（2）（3）

C.（3）（4）

D.（2）（4）

评注：本题考查了数量积运算律、向量加减法等基础知识．选(D) 2．基本计算题型

例2．中，AD、BE是中线，

，

评注：本题考查了向量的加减法的几何意义、平面向量基本定理、重心及中线性质等基础知识.选

A. 例3．（05福建）在△ABC中，∠C=90°，则k的值是

A．5

B．－5

C．

D．

解：

，

即，选A. 评注：本题考查了平面向量数量积及其坐标运算. 例4．（05北京）若，且，则向量与的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

解：选C. 评注：本题考查了向量夹角公式. 五、思想方法

1．数形结合思想.“形无数时难入微，数无形时难直观.”向量就是使“数”和“形”和谐统一的一种工具.在解题时，常常将向量的加减运算用它的几何意义来表示，以达到直观简捷的目的.有时也需将几何意义用向量的加减法算式、坐标表达出来，和三角等联系起来，以便于计算. 2．等价转化的思想. 将向量的代数运算转化为几何运算；如果对向量的几何运算法则不熟悉，也可由向量的坐标运算法则转化为实数的运算，即将向量的加法、减法、数乘和数量积转化为实数的加、减、乘的运算，这都体现了等价转化的思想．

例5．已知，

求与的夹角．

解：方法一（代数法）：

. （或）

方法二（几何法）：

如图所示，

评注：本题可以运用两种不同的方法求解，但明显可以看到，几何法比代数法简捷的多．所以，在解题时，转化为几何法，利用数形结合，使问题容易解决．

六、注意的问题

1．数量积运算不满足消去律．命题“”是否命题. 例6．(05湖南)

P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的

A．外心

B．内心

C．重心

D．垂心

解：

,同理，，，是垂心，选D．

评注：不能简单地消去而得到．

2．非零向量与的夹角为锐角的充要条件是且不平行，而不仅仅是．

例7．，夹角是钝角，则

解：选A. 评注：本题考查了数量积定义、简单不等式。但要注意夹角是钝角得出的是，不仅是.

3．向量、夹角与直线、夹角不能等价. 例8．边长为1的等边三角形ABC中，，正确吗？

解：不正确. . 评注：在三角形中，一定要注意两个向量的夹角与三角形的内角的关系．