1.等式与方程的含义教学实录

让“方程意识”更深刻些

——《方程的意义》一课的新实践与新思考

作者：江苏省南京市溧水区实验小学（211200）

吴存明

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手机：13813066505

课前思考

“方程的意义”一课，各版本教材大都是借助天平演示，呈现等式与方程，揭示概念——含有未知数的等式叫做方程。但是，最近有的老师认为方程不能仅仅停留在一个形式的概念上，借助天平来教学方程，是将“方程表示数量间的相等关系”的理解狭隘化，理由是天平揭示的是一种特殊的相等关系。

《小学数学教师》2014年第3期刊登的浙江省嘉兴教育学院的朱国荣、江西省南昌市广南学校的吕英合写的《从形式到内涵的嬗变——“方程的意义”教学实践与思考》，并刊登了从直接从生活问题的等量关系切入进行设计的教案。笔者将此教案在一个基础较好的班级进行了试教，内容没有完成，且学生的学习有些被动，效果欠佳。究其原因，“生活中的等量关系”比“天平的等量关系”更为复杂，虽更一般，但是不够典型，给学生增加了难度，不适宜用作方程第一课时的导入和新授。如此看来，各版本教材选择“天平”素材来教学方程的第一课时，是编者们精心挑选过后的成果，值得尊重。

那么，关于“方程的意义”一课的新探索，落脚点到底应该放在哪儿？

笔者以为，对小学五年级的学生来说，探索“方程的意义”一课的落脚点可以放在概念的内涵与外延的扩展上，即在“含有未知数的等式”这一概念的基础上加上“表示已知数和未知数的等量关系”上，而不是形式化地改动“天平”情境。也就是说，可以借助特殊的“天平”来引入“方程”的概念，进而从“特殊”（天平两边所放物品的质量相等）到“一般”（生活问题中的相等关系），这样的教学既符合数学知识的本质，又符合儿童由易到难、循序渐进的学习规律和学习特点。这与《中小学数学（小学版）》2015年第4期曹永泉老师发表的《“方程意识”有没有》的基本想法是一致的。

下面是本人基于上述思考，在我校省级重点规划课题“基于核心问题的教学研究”视角下执教的“方程”教学案例。

教学实践

一、核心问题的提出

教师在黑板上事先写好课题。

师：同学们，知道今天学什么内容？

生：方程。

师：看到方程这个课题，你心里在想什么？你有哪些问题想问？

生：方程是什么东西？

师：遇到一个新的东西，我们首先得考虑它是什么。“方程是什么”，或者说“什

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么是方程”，这个问题提得好！

生：我以前好像听过什么方程式。

师：是啊！在生活中，还有高年级的大哥哥大姐姐们提到“方程式”这样的词，它和式子有关系。非常不错的想法。

生：方程是怎么来的？

师：哎，在今天的学习中肯定会产生很多很多的方程，那么这些方程是怎么列出来的呢，这个问题提得也不错。

生：我想知道，方程该怎么算？

师：你都想到方程是怎样去算，怎样去解，真好。不过，这个问题要在后面的学习中再去解决。那么，今天这节课我们到底去研究那些问题呢？我们不妨梳理一下，写在黑板上。

教师板书“什么是方程”和“怎么列方程”两个核心问题。

【评析：在揭示课题后，教师尝试让学生依据自己的经验提出研究的具体问题。在学生提出“雏形问题”的基础上，教师和学生一起对问题进行梳理，并把梳理出的“核心问题”当作教学的主线。这样学生的学习状态就会变得积极主动。如果教师坚持这样做，学生的问题意识就会增强。】

二、核心问题的探究

1、认识等式。

出示天平图

师：认识吗？

生：天平。

师：如果老师把50克和40克的砝码分别放到天平的两边，你觉得天平会出现什么现象？

生：50克的这一边下去，40克的这一边翘起。

（师生一起伸出双臂，比划天平的状态。）课件出示。

师：那如果天平两边的砝码交换一下，会怎样？

生：还是50克的一边下去，40克的一边翘起。

（师生一起伸出双臂，比划天平的状态。）

师：如果想让天平平衡起来（教师伸出双臂做平衡状），你有办法吗？给老师出出主意。

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生：左边再加上10克。

课件出示平衡图

师：左边加上10克砝码，左右两边的重量相等，这时天平刚好平衡了。我们可以用一个等式来表示。

教师板书：40+10=50 师：40+10=50这个等式表示什么意思？

生：表示左边原来有40克，加上10克，就和右边50克相等了，天平就平衡了。

【评析：等式这个概念是学习方程的一个前概念，最好优先教学。如果离开现实情境出现含有未知数的等式，学生很难体会等式的具体含义。天平是计量物体质量的工具，它的两臂平衡或者不平衡，分别表示两端的物体质量相等或者不相等。几个版本的数学教材多次以天平图创设情境，利用鲜明的直观形象写出表示相等的式子和表示不相等的式子，帮助学生理解式子的意思。可贵的是，教师引导学生用双手表示天平的平衡，肢体参与的活动对于建立模型、建立等价的关系是非常有意义的。】

2、认识方程。

师：在我们以前的学习中，经常会看到这样的图，你能看懂吗？你看懂什么了？

生：5个草莓和2个苹果的重量是一样的。

生：我觉得1个苹果的重量等于2个半草莓的重量。

师：他还看出了新的东西。接着看。

（课件上给每个苹果加上数据。）

师：你会用等式表示天平两边物体的重量关系吗？

（学生在作业本上记录，教师巡视，并选择几种代表性的上黑板板演。）

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生1：150+150=300（克） 300÷5=60（克）

师：其实，他是在干嘛？

生：他是在求一个草莓的重量。

师：拿到一道题，我们习惯性的去解，去求未知数的答案。在这里，一个草莓的重量是未知数。

（教师板书：未知数。）

师：老师首先肯定你能快速的求出未知数是多少，不过，有时我们还不要太着急，我们来试着用一个等式去研究它们的时候，可能会有新的收获。

生2：5个60克的草莓=2个150克的苹果。

师：你觉得她写得对吗？

生：对。

师：每个草莓是60克，老师有没有告诉你？你都知道了。也就是说，你已经把未知数变成了已知数。

（教师板书：已知数。）

生3：:150+150=5个草莓，左边是150克加150克，两个苹果的重量，右边是5个草莓的重量是未知数。

师：你是说，草莓的重量是未知数，你就直接写5个草莓。

生4：60×5=150×2。

师：为什么这么列？

生：一个草莓的重量乘上5就等于一个苹果的重量乘上2。

生5：？×5=150×2。

师：为什么这么列？

生：一个草莓的重量不知道，我用？来表示。

师：黑板上出现了五种等式，首先可以排除哪一种？理由？

生：第一种。要求是列一个等式，第一种是两个等式。

师：那剩下来的几种，你觉得哪一种最符合图意？理由？

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生1：我觉得第四种，60×5=150×2，很清楚，很简洁。

生2：我觉得第五种，？×5=150×2。

师：第四种，第五种等式好在哪？

生：不用文字，比较清楚，简洁。

师：如果只留一种，既清楚简洁，又能反映题目的条件和问题之间的关系，你觉得是留60×5=150×2，还是留？×5=150×2？

生：我觉得留？×5=150×2。

师：为什么？

生：因为一个草莓是未知数，不是已知数，写5x=150×2更符合题目意思。

师：大家觉得，他说的有道理吗？

生：有。

师：在这里，虽然60×5=150×2很清楚，但是60这个结果在一开始并不知道，所以写成？×5=150×2，既有已知数，又有未知数，更符合题意。那么，这里除了用“？”代替未知数，还可以用什么？

生：字母

（教师板书：5x=150×2，生齐读。）

师：师：5x=150×2这个等式与60×5=150×2这个等式是有区别的。它不仅有已知数，还有未知数，而且将已知数和未知数建立起一个等量关系。（板书：等量关系）5x=150×2这个等式也就是我们今天要学的方程。方程有什么好处？

生：简洁、方便。

师：假如隔壁班的同学还没学方程，你能告诉他们什么是方程吗？你会怎么讲？和你的同学准备一下再全班汇报。

生：我觉得，方程就是将已知数和未知数建立起一个等量关系的式子。

生：我觉得，方程就是一个特殊的等式。

生：含有未知数的等式叫做方程。

师：对，像这样，依据未知数和已知数之间的等量关系，建立起来的含有未知数的等式叫做方程。

【评析：让学生独立思考，用等式表示天平两边物体的重量关系，然后比较不同的记录方式，优化得出方程。这个过程，都是在“什么是方程”这个核心问题的引导下一路走过来的。经历了这个过程后，让学生再回味“假如隔壁班的同学还没学方程，你能告诉他们什么是方程吗？”让学生对学习过程和学习内容进行归纳梳理，形成整体印象，而学生有准备的表达对整个教学起到画龙点睛、提炼升华的作用。】

3、梳理方程、等式与不等式的关系。

师：同学们知道了什么是方程，那么给你天平图，你能列出方程吗？确定？

生：确定。

师：请大家看下面两幅图，在作业本上试一试。

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（生很快列出x+50=150 、50+50=100，全班汇报。）

师：对于50+50=100，你有什么想说的？

生：50+50=100不是方程，因为它们都是已知数。

生：我认为，50+50=100只能算是等式。

师：它只是我们学过的普通的等式。像这样的等式，你还能举几个例子吗？

生：2+3=5,100+100=200……

（教师板书几个）

师：那为了区别，请一个同学把黑板上所有的方程用个大圈圈起来，谁来圈？

再请一个同学用个大圈把所有的等式圈起来。你们猜，他会圈哪些？对吗？

师：看看这两个大圈，你觉得方程和等式有什么联系呢？

生：方程也是等式，是含有未知数的等式。

生：方程是等式的一部分。

生：所有的方程都是等式，但不是所有的等式都是方程。

（教师拿出写有“方程”和“等式”的卡片。）

师：那这两张卡片贴在圈圈的哪个位置比较合适呢？

（学生将“方程”贴在方程圈内，将“等式”贴在方程和等式交叉的位置。课件继续出示天平图3）

师：那么，x+50>100是方程吗？

生1：我觉得不是，要有未知数，还要是等式，才是方程。

生2（踊跃地）：我觉得还是方程，它含有未知数。虽然没有等于号，但还是建立一种关系。

师追问：建立了什么关系？

生：大小关系。

生3（指着板书，抢着说）：刚才老师说，要将已知数和未知数建立起一个等量关系，这个式子是大小关系，不是相等关系。

师：你是说不仅含有未知数，而且要具有等量关系，也就是首先要是一个等式。可是，x+50>100不是方程，不是等式，那叫什么呢？

生：大小式。

生：不等式。

师：对，数学家们叫它不等式。

【评析：引导学生对等式、方程、不等式进行比较、辨析，一箭双雕，不仅三者之间的关系得以明确，而且方程的概念得到进一步强化。】

三、核心问题的巩固和延伸

1、巩固：

下面的式子，哪些是方程，哪些不是？

① 6+2y＞15 ② 36-7=29 ③ a-30=12 ④ 8+x ⑤ 10+Δ=34 ⑥ 22- ＜5 师追问：

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⑥为什么一定不是方程？

①③④都有字母，为什么有的是方程，有的不是方程？

2、延伸: 师：刚才我们通过天平认识了方程，那离开天平，是不是方程就不存在了呢？其实，生活中也存在这样的相等关系，不过生活中的等量关系没有天平这么直观，一眼就能看出来，他需要去仔细的分析和辨认，敢不敢挑战一下？我给你提供几个个研究素材，你和同桌一起商量商量。看看这些生活中的事情怎么用方程表示？

交流分享生活事件中隐藏的等量关系，解释方程的意义。（略）

最后一题，可以得出四种方程：x+350=800、350+x=800、800-x=350、800-350=x。

小结：

（1）根据不同的数量关系，可以写出不同的方程。

（2）每一个方程背后都有一个等量关系。

追问：这四种当中，有一种方程，咱们平常不太用？你知道是哪一种？为什么？

生：800-350=x，很快就算出来。

师：方程时用来解决稍复杂的问题，800-350=x这个方程算起来好简单，但它失去了方程的价值。在后面的学习中，你会更加明白的。我这样说，你觉得心理上能接受吗？

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生：能。

师：师：我还担心你不能接受呢，坦率的说，我在小时候特不能接受，好端端的一个方程你非得说它不行，不过没关系，当我们从计算进入到方程领域时我们会遇到新的规则，许多新的思考方式，今天不适应没关系，随着方程的学习，相信同学们能适应的，有信心吗？

生：有，能适应！

3、拓展: 师：看图能列出方程，如果给你方程，你能给方程配上具体的问题情境吗？请慎重选择。

（1）x-17=25 A.一辆公交车上原有x人，到站后有17人上车，汽车上现在有25人。

B.一辆公交车上原有x人，到站后有17人下车，汽车上现在有25人。

（2）a+1=12

（3）6m=300 A.每辆小汽车m元，6辆这样的小汽车一共300元。

B.一辆小汽车每小时行m千米，这辆汽车6小时行300千米。

师追问：6m=300还能表示怎样的问题情境？

四、全课总结，提升认知。

师：关于方程的学习，我们就上到这儿，通过今天的学习，我们解决了哪些问题？

生：什么是方程，怎样列方程。

生：我还知道了等式、方程还有不等式之间的关系。

师：你觉得在后面的学习中，我们还要学习方程的哪些问题？

生1：为什么要列方程？

生2：方程可以解决什么样的实际问题？

生3：方程用来解决哪种类型的问题？

师：是啊，方程究竟如何帮助我们解决问题呢？以后的学习中，我们来慢慢体会。

【点评：课尾，教师用“通过今天的学习，我们解决了哪些问题？”和“你觉得在后面的学习中，我们还要学习方程的哪些问题？”，前后呼应，又为接下来的学习埋下伏笔，让学生带着问题走出课堂。】

课堂板书

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课后反思

上述“方程的意义”教学，可贵的是：

首先，在备课时作了深入的思考，没有把形式化的定义作为教学重点，突出方程的内涵本质，淡化名词术语。在此，引用两位专家的话结束行文。

——张奠宙（《高中数学课程国家标准》研制组组长）：方程是为了寻求未知数，在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。

——陈重穆（西南师范大学）对于方程，要淡化名词术语，浸润思想方法，突出等式性质，灵活解题步骤。

其次，在教学时作了灵活的设计，以核心问题的教学组织，让学生从“特殊”到“一般”，从“天平”到“生活”，去理解方程的意义，形成方程的思想。尤其是在核心处放慢脚步，让学生经历过程，对“什么是方程”和怎样列方程”两个核心问题有了自己的深刻体验。

当然，方程作为“数与代数”领域的重要内容，学好这一部分内容对学生来说是一次认识上的飞跃，也是一次思想上的突破。如何做好需要教师们不断摸索与实践。

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