2.5.2 向量在物理中的应用举例教学设计(第二课时)

2.5.2

向量在物理中的应用举例

明目标、知重点

1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．

1．力与向量

力与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向．

(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．

2．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是向量．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成．

(3)动量mν是数乘向量．

(4)功即是力F与所产生位移s的数量积．

[情境导学]

你能举出物理中的哪些向量？比如力、位移、速度、加速度等，既有大小又有方向，都是向量，学生很容易就举出来．进一步，你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗？你是怎样解决的？向量是有广泛应用的数学工具，对向量在物理中的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识．因此我们通过对下面若干问题的研究，体会向量在物理中的重要作用．

探究点一

向量的线性运算在物理中的应用

思考1

向量与力有什么相同点和不同点？

答

向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的. 用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上．

思考2

向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？

答

速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．

小结

向量有丰富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．

思考3

请利用向量的方法解决下列问题：

如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.

(1)求|F1|，|F2|随θ角的变化而变化的情况；

(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围．

答

(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，

得－G＝F1＋F2，|F1|＝|F2|＝|G|tan θ，

当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．

(2)由|F1|＝|G|1，|F1|≤2|G|，得cos θ≥. cos θ2|G|，

cos θ又因为0°≤θ<90°，

所以0°≤θ≤60°. 例

帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．

解

建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，

设帆船行驶的速度为v，

则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,103)，向量v2＝(20,0)，

则帆船的行驶速度

v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，

所以|v|＝302＋1032＝203(km/h)．

1033因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，

303所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203 km/h. 跟踪训练1

某人在静水中游泳，速度为43 km/h，水的流速为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

→→解

如图所示，设此人的实际速度为OB，水流速度为OA.

∵实际速度＝游速＋水速，

→→→∴游速为OB－OA＝AB，

→|OA|3→→→在Rt△AOB中，|AB|＝43，|OA|＝4，|OB|＝42，cos∠BAO＝＝

. 3→|AB|故此人应沿与河岸夹角余弦值为3，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为42 km/h. 3探究点二

向量的数量积在物理中的应用

思考1

向量的数量积与功有什么联系？

答

物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．

小结

物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F与s的数量积．

思考2

已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ＝0.02的水平平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 m/s2) 答

如图所示，设木块的位移为s，

则F·s＝|F||s|cos 30°＝50×20×3＝5003(J)．

2将力F分解，它在竖直方向上的分力F1的大小为

1|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，

2所以，摩擦力f的大小为

|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，

因此，f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1) ＝－22(J)．

思考3

用向量方法解决物理问题的一般步骤是什么？

答

用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：

①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．

例

已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．

(1)求F1，F2分别对质点所做的功；

(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．

→解

(1)AB＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，

→W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，

→W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．

∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J. →→(2)W＝F·AB＝(F1＋F2)·AB

＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．

∴合力F对质点所做的功为－102 J. 反思与感悟

物体在力F作用下的位移为s，则W＝F·s＝|F|·|s|cos θ，其中θ为F与s的夹角．

跟踪训练2

已知F＝(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(－2，3)，求F对物体所做的功．

→解

AB＝(－4,3)，

→W＝F·s＝F·AB＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1 (J)．

∴力F对物体所做的功为1 J.

1．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.

答案

10 解析

设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，

且|F1|＝|F2|. ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N. ∴每根绳子的拉力都为10 N. 2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 答案

300 解析

W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉

＝6×100×cos 60°＝300(J)．

3．一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________分钟．

答案

3

解析

∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，

|v1|＝20，|v2|＝12，

∴|v|＝|v1|2－|v2|2

＝202－122＝16(km/h)．

0.8∴所需时间t＝＝0.05(小时)＝3(分钟)．

16∴该船到达B处所需的时间为3分钟．

4．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的

方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．

解

如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v.

方向由南向北，大小为23 km/h，船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，数形结合知v3的方向是北偏西60°，大小是3 km/h. [呈重点、现规律]

用向量理论讨论物理中相关问题的步骤

一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．

一、基础过关

1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(

) A．6 N

C．25 N

D．27 N 答案

C 2．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为(

) A．|F|·s

B．Fcos θ·s

B．2 N C．Fsin θ·s

D．|F|cos θ·s

答案

D 3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为(

) A．40 N

B．102 N C．202N

D．103 N

答案

B 解析

|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，

当θ＝

120°，由平行四边形法则知：

|F合|＝|F1|＝|F2|＝102 N. 4．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(

)

A．lg 2

B．lg 5

C．1

D．2 答案

D 解析

F1＋F2＝(1,2lg 2)．

∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1) ＝2lg 5＋2lg 2＝2. 5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为(

) A．(9,1)

C．(9,0)

答案

A 解析

f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f的终点为P(x，y)，则

→→OP＝OA＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．

→→6．若OF1＝(2,2)，OF2＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．

答案

5 解析

∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝02＋52＝5. B．(1,9) D．(0,9)

7．如图，两根固定的光滑硬杆OA，OB成θ角，在杆上各套一小套P、Q，P、Q用轻线相→连，现用恒力F沿OB方向拉环Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．

答案

|F|

sin θ解析

做受力分析，依题意，重力可以忽略不计，Q受轻线的拉力为T，由于受力平衡，只ππ|F|－θ＝F，故|T|＝能是轻线与杆垂直，即轻线与OB的夹角为－θ，Tcos. 22sin θ

二、能力提升

质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(

) A．(－2,4)

B．(－30,25) C．(10，－5)

D．(5，－10) 答案

C →解析

设(－10,10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1＝(x＋10，y－10)，由题意→有AA1＝5ν. 即(x＋10，y－10)＝(20，－15) x＋10＝20x＝10，⇒⇒

y－10＝－15y＝－5.

9．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________．

答案

1 5003 J 解析

所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 5003 J.

如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________．(写出正确的所有序号) ①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

答案

①③

π解析

设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|2＝|f|. cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．

∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．

11．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．

解

如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．

则v0＋v1表示船实际航行速度，

∵|v0|＝4，|v1|＝8，

∴解直角三角形|v0＋v1| ＝42＋82＝45. 故船实际航行的速度为45千米/小时．

12．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．

(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；

(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？

解

(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为：

WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)．

支持力FN与位移方向垂直，不做功，

所以WN＝FN·s＝0. 重力G对物体所做的功为：

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：

W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．

三、探究与拓展

已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|，设P、Q在t＝0 s时分别在P0、Q0→→处，问当PQ⊥P0Q0时所需的时间t为多少？

解

e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝2，其单位向量为(22，)；3e1＋2e2＝

22

(3,2)，|3e1＋2e2|＝13，其单位向量为(→→依题意，|P0P|＝2t，|Q0Q|＝13t，

22→→∴P0P＝|P0P|(，)＝(t，t)，

2232→→Q0Q＝|Q0Q|(，)＝(3t,2t)，

1313由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，

得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，

→→∴P0Q0＝(－1，－3)，PQ＝(2t－1，t－3)，

→→→→∵PQ⊥P0Q0，∴P0Q0·PQ＝0，

即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2. →→∴当PQ⊥P0Q0时所需的时间为2 s.

32，)，如图．

1313