2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示ppt课件课堂实录

《平面向量基本定理》教学设计

一

教学背景分析

1.教材分析 本节课是人教版必修4第二章《平面向量》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》的第1课时，本课时的内容为“平面向量基本定理”. “平面向量基本定理”上承向量的线性运算，下启向量的坐标表示.平面向量的加减运用了三角形或平行四边形，建立了与平面几何的联系，平面向量又有坐标表示，沟通了与解析几何的感情. 因此“平面向量基本定理”在知识体系中起着承上启下，合纵连横的作用.

2.学情分析

在此节课之前，学生已较好的掌握了向量的加减、数乘运算以及两个向量共线定理，为这节课的进行做好了知识上的铺垫.

二

教学目标构建

“平面向量基本定理”是一个核心定理，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构.该定理的生成过程蕴含着丰富的数学思想，即“类比—抽象—猜想—探索”的认知过程.因此“平面向量基本定理”的生成与发现过程既是定理的产生过程，又是数学思维方式的“孕育”过程.

1.教学重点

平面向量基本定理及定理的价值与发现过程. 2.教学难点

平面向量基本定理的内容和价值的理解.

三

教学策略分析

向量的线性运算

平面几何

平面向量基本定理

向量的坐标表示

解析几何

合纵连横

承上启下

向量共线定理

类比—抽象—猜想—探索

数学思维方式的“孕育”过程

平面向量基本定理

本节课用问题链引领，学生独立思考与合作探究相结合，教师讲授与多媒体辅助相结合，围绕以下环节设计问题链，制定教学策略：

引发学生对如何表示某一向量的思考

初步感受形式a1e12e2，体会向量的合成与分解

实数对1,2唯一性、确定性

向量a的任意性

不共线的向量e1,e2的任意性

四

教学过程设计

1.通过“问与引”，营造学生思维环境

情境引入：前面的课程中我们学习了向量的加法、减法和数乘运算，现在请大家思考一个问题：已知非零向量a，那么平面内的任意向量b是否能用a线性表示?

设计意图：问题的提出既巩固了上节课的共线定理，也给学生留下了思维空间.如果平面内的向量不能由单个向量线性表示，又该如何具体表示呢? 此问题激发了学生的学习兴趣，并蕴含着本节课的设计主线，即从共线定理的一维关系转向研究平面向量基本定理的二维关系.

共线定理

巩固

已知非零向量a，那么平面内的任意向量b能否用a线性表示

营造思维环境

如果不能，又该如何表示？

2.通过“做与思”，引导学生亲身体验

如果平面内的向量不能由单个向量线性表示，又该如何表示呢?

带着对这个问题的思考，请同学们尝试解决以下问题：

问题1

如图已知向量e1、e2，求作向量3e12e2、2.5e13e2

2e

图1

2e

来源学。科。

e

1网Z。X。

X。K]

以由两个向量构造

1e

设计意图：让学生感受利用形式1e12e2可新的向量，同时促发学生对起始问题的思考与猜测：能否用两个向量来表示一个向量? 又该如何表示? 设计两个小问的目的是让学生感受不同，不同的数对1、2可以合成不同的向量. 网格纸的使用，简洁统一，提高了活动的有效性. 通过刚才的亲身体验，可以发现：给出一组不共线向量e1、e2，可以合成无数多个不同的向量. 问题2

请将图2中的向量a分解成两个向量e1、e2方向上的向量，并用形如1e12e2的向量表示.

设计

来

来源:Zxxk.Com]

源:Z。xx。k.Com]

B

2e

a

e

2a

O

e

1

A

e

1图2-2

意图：第一个问题让学生感受向量可以合成，第二个问题图2-1

让学生体会向量也能分解. 逆向思考的过程产生了思维的碰撞，在学生脑海中碰撞出了一个朦胧的背影：就是形式1e12e2. 3.通过“问与评”，引导学生深度参与

通过问题链将“重难点”转化为“探究点”，通过评价（生生、师生、自我）将“探究点”转化为“突破点”.在问题2的处理上，需要学生代表利用实物投影展示作品，讲述对上述问题的理解，在此基础上提出如下追问：

追问1 作图的依据是什么?

追问2 请同学互相比较分解成的两个向量是否一致? 1、2的值是否一致? 追问3 结果一致也就意味着数对1、2是唯一的，是什么原因导致这样的结果?

设计意图：这一环节的数学活动是引导学生深度参与，引领学生应用向量加法的平行四边形法则，作出向量a在给定向量e1、e2方向上的分向量OA与OB（图2-2），启发学生观察OA与e1、OB与e2的关系.由共线向量基本定理知，存在且唯一的一对实数1、2，使得OA1e1，OB2e2，从而得出a1e12e2. 从而明确作法的科学性，学生的感受应该是清清楚楚的.

以上过程全体学生合作做同一个向量分解的数学实验，调动了学生的主动性，创造性. 通过探索、交流、归纳，共同验证了“向量分解的唯一性”.

至此我们勾画出了平面向量基本定理唯一性生成的图景：

方向唯一

作图分解的唯一性

OA、OB的唯一性

长度唯一

学生初步的到一个结论：

向量e1、e2是平面内的两个向量，那么对于这一平面内“给定”向量a，有且只有一对实数1、2，使实数对的唯一性

a1e12e2. 追问4 如果向量a“任意”给定，能找到对应的实数对1、2吗？

追问5 如果向量e1、e2任意行吗？

a

来源学_科_网

2e

e

1Z_X_X_K]

图3-1

设计意图：引导学生分别自行给定向量a和向量e1、e2，通过图3-2

作图构造形式a1e12e2，同学之间互相观摩比较，每个同学选定不同方向、大小的向量分别进行研

究，这样的设计对单个学生而言，体现了向量的给定性，对一个小范围学生来说，又体现了向量的任意性. 利用几何画板设计如下课件:平面向量a和向量e1、e2，每次变化动向量a，都可以用给定的两个方向上的分向量e1、e2，其目的是用几何画板让学生动态地看到：这个平面内“任一”向量a都可以分解成这两个方向上的向量；再通过改变向量e1、e2，亦发现a可以分解成这两个方向上的向量.

追问6 作为基底的两个向量e1、e2有何要求? 如果向量a与两个基底当中的一个平行，能表示成形式a1e12e2吗? 设计意图：完善学生对平面向量基本定理的认识，归纳出平面向量基本定理.

至此我们完整的展示了平面向量基本定理生成过程：

作图分解的唯一性

实数对1,2的唯一性

给定向量a

平面向量基本定理

任一向量a

任意不共线向量e1,e2

给定向量e1,e2

4.通过“练与思”，引导学生深入理解

本节课设计了两道课堂练习：

练习1 （人教版必修4第89页例7）

如图4， ABCD的两条对角线相交于点M，且AB

ADa，b试用基底a、b表示MA、MB、MC和MD.

图4

设计意图：通过本例使学生初步掌握能够在具体问题中用基底来表示其他向量.MB表示可以寻求不同的途径，通过不同的途径MB最终都可以用基底a、b表示，且a、b前的系数都相同，这也体现了定理中的实数1、2的唯一性. 练习2 在ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD2DB，CD1CACB，求的值. 3设计意图：本题旨在培养学生科学合理地选择基向量，将图形中的若干构成元素向量化的意识和能力，用向量的线性关系描述几何元素间的关系的意识和能力. 学***面向量基本定理构建向量方程，再利用待定系数法求相关变量的数学思想方法. 回顾反思：

实数对1,2的唯一性

任一向量a

任意不共线向量e1,e2

5.通过“做与诊”，引发学生反馈拓展

平面向量基本定理

几何图形代数化

“做”要完成两项任务，其一，完成复习巩固性作业，目的是帮助学生拓展对平面向量基本定理的理解；其二，完成预习性作业，目的为了下一课时做铺垫. 本课时作业为：

BC边上靠近B的三等分点为F，①如图，平行四边形ABCD的CD边的中点E，且AB用a、b表示AE、FA、FE

ADb，a，②平行四边形ABCD的CD边的中点E，AE交BD于点M，试用向量方法证明：M是BD的一个三等分点. ③在网格纸中，请自选两个向量作为基底，分别表示图中所给向量.

[来源:

学,科,网Z,X,X,K]

设计意图：第①题的目的是让学生进一步熟悉平面向量基本定理，熟练掌握向量的线性表示；第②题的目的是让学生感受平面向量基本定理的价值，感受平面向量基本定理中数对1、2唯一性的应用，向量空间中待定系数法的理论依据；安排思考题的目的是为了引出向量的坐标表示埋下伏笔，从而形成一个“课前---课堂---课后---课前”完整的循环学习链.

五

板书设计

§4.3.1平面向量基本定理及坐标表示（1）

练习1

1,2的唯一性 实数对

任一向量 练***面向量基本定理 a

e1,e2任意不共线向量