2.3.1 变量之间的相关关系优质课一等奖

2.3.1 变量之间的相关关系

教学要求：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。

教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。

教学难点：变量之间相关关系的理解。

教学过程：

一、新课准备：

1.粮食产量与施肥量有关系吗？

2.数学成绩对物理成绩有关系吗？

二、讲授新课：

1.相关关系：

⑴.两个变量之间的关系:

①.确定的关系:当自变量取值一定时，因变量也确定（如：函数关系）

②.非确定性关系:当自变量取值一定时，因变量带有随机性.相关关系是一种非确定性关系. 注①.变量之间除了函数关系外，还有相关关系. ②.两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响. ⑵.相关关系分类

①.散点图：将样本中n个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．

②.正相关与负相关

ⅰ.正相关：散点图中的点从左下到右上分布．

ⅱ.负相关：散点图中的点从左上到右下分布．

③线性相关关系：所有的样本点在某一直线附近

非线性相关关系：样本点都落在某一曲线附近

2．回归直线的方程

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在__________附近，我们就称这两个变量之间具有__________关系，这条直线叫做回归直线．

(2)回归方程：___________对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程．

(3)最小二乘法

^^^求回归直线方程y＝bx＋a时，使得样本数据的点到回归直线的_____________最小的方法叫做最小二乘法．

--

xiyi

-nxy－－

(x i－x)( yi－y)i＝1^i∑=1b=

=

n－2n-∑

(x i－x)

2i=1

xi- nxi＝1nn^－^－^^a=y－bx其中，b是回归方程的______，a是回归方程在y轴上的_______．

3.自我测评

1．判断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)

-－(1)线性回归方程必经过点(x，y)；(

) ^^^^(2)对于方程y＝bx＋a，x增加一个单位时，y平均增加b个单位；(

) ^(3)样本数据中x＝0时，可能有y＝a；(

) ^(4)样本数据中x＝0时，一定有y＝a.(

)

2．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是(

)

3．下列关系中，有相关关系的是________．

①正方形的边长与面积之间的关系；

②水稻产量与施肥量之间的关系；

③人的身高与年龄之间的关系．

4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年^龄的回归模型为y＝7.19x＋73.93，那么这个孩子10岁时的身高是否一定是145.83 cm?

4.例题

例1. (1)下列关系中，属于相关关系的是________．

①人的身高与视力的关系；

②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系；

③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．

(2)下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？

年平均气温(℃)

12.51

12.74

12.74

13.69

13.33

12.84

13.05

年降雨量(mm)

748

542

507

813

574

701

432

方法归纳

(1)两个变量x和y相关关系的确定方法：

①散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；

②表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；

③经验法：借助积累的经验进行分析判断．

(2)判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响．

跟踪训练

1．(1)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(

)

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

(2)下面是随机抽取的9名15岁男生的身高、体重表：

编号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

身高/cm

165

体重/kg

52

157

44

155

45

175

55

168

54

157

47

178

62

160

50

163

53

判断所给的两个变量是否存在相关关系．

例2

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：

x y 3

2.5

4

3

5

4

6 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线^^^性回归方程y＝bx＋a；

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) (链接教材P90例题)

练习：

假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：

使用年限x 维修费用y 2

2.2

3

3.8

4

5.5

5

6.5

6 7.0 若由资料知：y对x呈线性相关关系，试求：

^^^^^(1)线性回归方程y＝bx＋a的回归系数a、b；

(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？

[规范与警示]

将题中给出的y的值按一定顺序排列．描点则可按一定顺序进行．

利用散点图可直观地验证是否具有相关关系．只有判断出两变量具有线性相关关系才能再进一步求线性回归方程，否则就没有意义．

将公式中所有涉及到的数据在表格中一一列出，以便计算减少失误．

此步运算量较大，是关键点也是失分点．

5.课堂小结

通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系. 6. 作业