构建知识体系教学设计第一课时

《勾股定理复习》教学设计

江西省于都中学

张光晶

一、教学分析

本章主要研究直角三角形的边之间的数量关系——勾股定理．勾股定理反映了特殊图形中边的数量关系，体现了数形结合的数学思想．

所有的命题都有逆命题，但真命题的逆命题不一定正确，勾股定理的逆命题是真命题，它提供了根据边的数量关系判定直角三角形的一种方法．勾股定理及其逆定理，从相反的路径对直角三角形进行了刻画．勾股定理和逆定理经常合起来使用，在利用逆定理判明了直角三角形后，进一步运用勾股定理去解决问题．

勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要作用，勾股定理导致了无理数的产生——导致出现了数学历史上的第一次数学危机，促进了数学的发展．勾股定理和逆定理在解决数学问题和现实世界中也有着广泛的应用．

基于以上分析，可以确定本节课的教学重点是：勾股定理及其逆定理的应用．

二、教学目标

1.知识与技能：

①回顾勾股定理及其逆定理，能运用勾股定理及逆定理进行计算、证明和解决实际问题．

理解互逆命题、互逆定理概念，能写出一个命题的逆命题．在回顾过程中主动构建起本章知识结构．

②会根据具体问题寻找或构造适当的三角形运用勾股定理和逆命题解决问题．

2.数学思考

①通过“课前热身——梳理知识——典例分析——能力提升——小结反思”的复习过程，经历知识的发生、发展、形成和应用的过程；

②通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，通过勾股定理和勾股定理的逆定理的综合应用，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决相关问题．

3.情感态度

①通过三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的关系；

②在回顾勾股定理、勾股定理的逆定理及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，

渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．

三、教学诊断

为了更好地认识勾股定理和逆定理，更好地运用他解决实际生活中的问题，通过回顾梳理已学过的知识，让学生主动进行知识体系重构，以便形成条理清晰、提取方便的知识系统．在利用勾股定理求解边的问题中，能找出和构造出直角三角形是运用勾股定理的关键，经常需要添加辅助线构造直角三角形，掌握一些基本的解题方法，如把一般三角形问题通过添高线，四边形通过延长对边或连接对角线转化为直角三角形等等，而这些方法的形成是需要经验积累的，学生往往难以根据问题特点寻找或构造适当的直角三角形联系已知和未知数据．

基于以上分析，可以确定本节课的教学难点是：寻找或构造适当的直角三角形，运用勾股定理及其逆定理解决问题．

四、教学过程

一、【课前热身】

1.在△ABC中，∠C=90°. （1）若a=6，b=8，则c=

.

（2）若c=13，b=12，则a=

. （3）若a：b=1：2 ，c=5，则a=________.

（4）若b=15，∠A=30°，则a=_____ ，c =_____. 2.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长为_______ . 3.若△ABC的三边长分别为41，4，5，试判断三角形的形状是

. 4.下列各组数是勾股数的是

（

）

A．2，3，4

B．6，8，10

C．0.3，0.4，0.5

D．52，122，132 【师生活动】学生独立思考并回答老师的问题，提高学生口头表达能力，最后学生通过练习总结知识应用过程的方法、思想. 【设计意图】基础题目的练习，主要复习勾股定理及其逆定理的应用，加深对定理及其逆定理的理解．让学生通过观察、计算、画图和归纳进一步理解和总结知识应用所蕴含的方法和数行结合的数学思想．进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点．

A

c

b

C

a

B

二、【知识梳理】

一、勾股定理

1.如果直角三角形两直角边分别为a和b，

斜边为c，那么

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方【a2 + b2 = c2】.

2.勾股定理的应用条件：

在直角三角形中才可以运用

3.勾股定理表达式的常见变形：

a2＝c2－b2，

b2＝c2－a2，

二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2 + b2 = c2

(a，b为较短边，c为最长边），那么这个三角形是直角三角形. 2.勾股数:

满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数

3.原命题与逆命题:

如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.

三、【典例分析】

例1

在△ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，

求BC边上的高．

【分析】过点点A作AD⊥BC，设CD=x，则BD=21-x，构建方程即可解决问题.

【师生活动】1.独立思考，有大致的解题思路2.观看微视频，听专家讲解3.整理思路，师生总结解题策略。

【设计意图】1.本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点，主要利用勾股定理进行解答。2.通过引入微视频讲解，调动学生的积极性。

【解题策略】利用勾股定理求线段长是勾股定理的一个重要应用，当题目中没有直角时，

往往作垂线构造直角三角形（构造法），然后利用勾股定理列方程求解（方程思想）.注意：不能破坏已知条件中的特殊角和已知边。

【变式】

在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．

①

②当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得

BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7，

∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60. 【师生活动】1.学生独立思考，有简单的解题过程2.小组交流讨论3.学生代表发言和补充4.师生达成共识:分情况讨论，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别进行计算，求出BD和CD，这两次都运用到了勾股定理，再相加或相减即可. 【设计意图】本题考查了勾股定理，分情况画图找到直角边、斜边是解题的关键步骤，体现了数形结合、、分类讨论、方程思想。

【解题策略】利用勾股定理求线段长是勾股定理的一个重要应用.题中未给出图形，作高构造直角三角形时，通常要进行分类讨论：锐角或钝角三角形. 例2

如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积. 解：连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理得

在△ACD中，

AC2+CD2=52+122=169=AD2，

∴△ACD是直角三角形，

且∠ACD=90°. ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=6+30=36. 【师生活动】先让学生独立思考，写解题过程，然后用希沃助手把学生代表的答案上传到屏幕上，由学生本人上台讲解:连接AC，在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．重点追问:为什么要连接对角线AC？非对角线BD？

【设计意图】1.此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合应用，连接对角线构造勾股定理及勾股定理的逆定理的条件是解本题的关键．2.培养学生讲题的能力，同时激发学生学数学的兴趣。

【解题策略】四边形问题通常连接对角线，将其转化为三角形问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.

【变式】如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积. 解：连接BD.

在Rt△ABD中，

由勾股定理得

BD=AB+AD，

∴BD=5m.

又∵

CD=12cm，BC=13cm，

∴

BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形.

∴S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD

= 1/2 BD•CD－

1/2AB•AD

=

1/2×(5×12－3×4)=24 (cm2)．

【师生活动】1.学生独立思考，有简单的解题过程2.学生代表发言3.老师点评，师生达成共识。

【设计意图】上题是凸四边形，而变式是凹四边形，方法一样，通过变式让学生深刻理222D A B C

解构造“黄金搭档”的条件和使用“黄金搭档”解题。

【解题策略】上题是凸四边形，而变式是凹四边形，方法都是:四边形问题通常连接对角线，将其转化为三角形问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用。

四、【能力提升】

1. 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最短路径长(π取3).

解：如图，沿AA1剪开，过Q作QM⊥BB1于M，

连接QP.则PM=8-3-2=3(cm)，

QM=A1B1=×2×π×2=6(cm)，

在Rt△QMP中，由勾股定理得

答：蜘蛛爬行的最短路径长是cm．

【师生活动】1.建立数学模型:老师用模型引领学生动手得出展开图。学生独立思考:展开图后，题目中的字母和相关条件如何标？小组交流达成共识2.求解数学模型:学生代表上台板演3.老师点评:展开后，构造直角三角形，根据勾股定理求出线段QP的长②是否清楚解应用问题的三个基本过程：建立数学模型→求解数学模型→回到实际问题中去；③学生在解决实际问题中所表现出来的数学情感与态度. 【设计意图】本题考查了勾股定理和最短路线问题的应用，关键是构造直角三角形，题目比较好，难度适中．从实际生活中所遇到的问题出发，以本节的知识为载体建立数学模型，在利用数学模型（勾股定理的逆定理）去解决实际问题，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，有效的培养学生的应用意识．

【解题策略】本题用到了数学的转化思想，把立体图形展开转化平面图形，根据两点之间线段最短确定路线，构造直角三角形，用勾股定理的知识来解决实际问题.

2.如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

解：在Rt△ABF中，由勾股定理得

BF2=AF2－AB2=102－82=36，

∴BF=6cm.∴CF=BC－BF=4. 设EC=x cm，则EF=DE=(8－x)cm ，

在Rt△ECF中，根据勾股定理

得

x2+ 42=(8－x)2，解得

x=3. 【师生活动】1.独立思考观察、计算、探讨2.学生代表发言3.师生归纳出在解决折叠问题、展开问题时的方法和数学思想。

【设计意图】：巩固提升学生综合应用勾股定理及其逆定理的能力，培养学生归类能力和数学思想。

【解题策略】折叠问题中结合勾股定理利用方程求线段的长（体现了方程思想）:

(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)；

(2)用已知线数或含x的代数式表示出其他线段长；

(3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的方程；

(4)解这个方程，从而求出所求线段长. 五、【课堂小结】

谈谈你这节课的收获: 1.

知识：

勾股定理

互逆定理

勾股定理的逆定理

直角三角形边

直角三角形的判定

长的数量关系

图2

2.

方法：数形结合、方程思想、分类讨论和转化思想.

六、教学评价设计

回顾整节课的设计，谈不上什么特色，只是说说自己的想法。

一、知识点复习处理：通过学生自己回顾和教师总结引导来进行知识的系统复习。

二、课前热身练习的设计：采用练习与知识点密切结合的方法，并降低知识点的难度，从而达到学生对知识的单一解决问题上的运用复习。简称为知识点的二次复习。

三、知识的应用方面：我觉得有两个难点

1．学生在知识的运用时候对这一知识在综合运用中的灵活性如何掌握，与学生在训练时经验总结和题目类型的分析能力有直接挂钩。

2．学生在解决这一类型的问题时候，往往要有一定的空间想象，同时也要有一定的图形意识，在图形和数字的结合中一定要融入这一概念。

七、教学反思

整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。但在解决勾股定理在数形时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔。

八、帮助和总结

在信息社会，信息技术与课程的整合必将带来教育者的深刻变化。本课中我充分地利用多媒体教学融合了PPT课件演示、微视频、希沃助手，为学生创设了生动、直观的数学情景。这些情景具有强列的吸引力，能激发学生的学习欲望。心理学专家研究表明:运动的图形比静止的图形更能引起学生的注意力。在传统教学中，用笔、尺和圆规在纸上或黑板上画出的图形都是静止图形，同时图形一旦画出就被固定下来，失去了一般性。所以其中的数学规律也被掩盖了，呈现给学生的数学知识也只能停留在感性认识上。本节课我通过PPT演示、微视频和希沃助手，真正体现了数学规律的应用价值，把呈现给学生的数学知识从感性认识提升到理性认识，实现一种质的飞跃。