构建知识体系教学设计(第一课时)

《勾股定理》知识建构教学设计

教材简析

本章的内容包括：勾股定理、勾股定理的逆定理．

本章主要研究并揭示直角三角形三边之间的关系的勾股定理与勾股定理的逆定理．勾股定理是一个著名的几何定理，在西方也被称为毕达哥斯拉定理．勾股定理有几百种证明方法，本章主要介绍的是我国古代数学家赵爽的证明方法，这种方法利用直角三角形的面积与正方形的面积关系，数形结合，直观、简洁．勾股定理在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本章是直角三角形相关知识的延续，同时也让学生进一步认识无理数，充分体现了数学知识的紧密相关性、连续性．在中考中，主要考查勾股定理及三角形判别条件的应用，常与三角形的其他知识结合考查．

教学指导

【本章重点】

勾股定理，勾股定理的逆定理．

【本章难点】

勾股定理的证明，勾股定理的应用．

【本章思想方法】

1．体会转化思想，如：应用勾股定理将实际问题转化成数学模型，从而构造直角三角形求解．

2．体会和掌握方程思想，如：利用勾股定理求线段长时，往往需要列方程求解．

教学过程

环节1

回顾勾股定理内容，归纳运用

1．(1)勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2. (2)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2；那么这个三角形是直角三角形．

2．勾股定理在直角三角形中运用

3．勾股定理公式变形，知道两边可以求第三边

4．自主学习学习例1，归纳知道直角三角形一边以及另外两边的数量关系可以用方程思想解决。

【例1】如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.

B

F

A

D

E

C

【互动总结】(学生总结，老师点评)勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解．

5.练习巩固。

如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为 ．

环节2

合作探究，解决问题

1.学生完成例2，师生一起总结归纳。

【例2】如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5)、B(1,2) ，

求A、B两点间的距离.

【互动总结】(学生总结，老师点评)两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点A(x1,y1)B(x2,y2),则 AB=x2-x1+y2-y1.22 2.小组合作完成例3（见学案），归纳总结，全班交流。

【例3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15. （1）求AB的长；

（2）求CD、BD的长．

【互动总结】(学生总结，老师点评)对于本题类似的模型，若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查，若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况，还可利用勾股定理列方程求解. 3.自主学习例4，交流发言。

【例4】如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

【互动总结】(学生总结，老师点评)解题技巧：化折为直：长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短. 环节3 1.回顾勾股定理逆定理内容

2.复习常用勾股数

3.例题学习

【例5】某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1.5小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

【互动探索】(引发学生思考)根据“路程＝速度×时间”分别求得PQ、PR的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明三角形PQR是直角三角形，从而求解．

【解答】根据题意，得PQ＝16×1.5＝24(海里)，PR＝12×1.5＝18(海里)，QR＝30海里．

∵242＋182＝302，

∴PQ2＋PR2＝QR2，

∴∠QPR＝90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，

∴∠SPR＝45°，

即“海天”号沿西北方向航行．

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查路程、速度、时间之间的关系，勾股定理的逆定理、方位角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

环节4 勾股定理和逆定理综合运用

【例6】如图，已知在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 cm，AD＝4 cm，CD＝13 cm，BC＝12 cm，求四边形ABCD的面积．

解：如图，连结BD.∵∠A＝90°，AB＝3 cm，AD＝4cm，∴根据勾股定理，得BD＝5 cm.又∵CD＝13 cm，BC＝412cm，∴CD2＝BC2＋BD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠CBD＝90°，1111∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝

AB·AD＋BC·BD＝

×4×3＋×5×12＝

36cm2. 2222