原（逆）命题、原（逆）定理主要内容及教案内容

《17.2勾股定理的逆定理--原（逆）命题、原（逆）定理》教学设计

惠阳区平潭中学

张伟敏

教学目标

1、初步了解互逆命题的概念和内涵，理解勾股定理的逆定理。

2、会用勾股定理及其逆定理解决实际问题。

3、在解决问题的过程中，培养学生与他人交流、合作的意识。

重点难点

重点：勾股定理的逆定理及其应用。

难点：探究勾股定理的逆定理。

教学内容

课前预习

1、命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是____________________. 2、某个三角形的三边长分别为8、15、17，你认为这个三角形是_____三角形。

3、下列各组数据中，不能组成直角三角形的是________ A.4,40,41 B.7,24,25 C.3,84,85 D.9,27,31 教学过程

一、情境引入

据说，古埃及人用如下图的方法画直角（多媒体演示）：把一根打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。

问题1：第4个结处的角是什么角？在其他结点钉木桩，还能得到类似的结果吗？这其中包含了什么数学道理？

【设计意图】通过多媒体展示，让学生直观的接受问题情境，并自觉地进行数学思考，引导学生从实际问题中发现数学，体会数学的应用，激发学生学习的兴趣。

二、互授新授

让学生用棉线模仿古埃及人，用打结的方法进行实验。

学生经过实验操作，小组间交流、探讨，初步归纳发现的结果：如果围成三角形的三边形的三边分别是3,4,5，那么围成的三角形是直角三角形（如果三边长是2,5,5，那么就不能围成直角三角形）。

与勾股定理类似，3,4,5之间存在32+42=52的关系，2,5,5之间不存在类似关系。

问题2：下面几组数据分别是一个三角形的三边长a,b,c:（1）2.5,6,6.5222（2）4,7.5,8（3）6,8,10;这三组数据都满足a+b=c吗？分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们是直角三角形吗？

问题3：根据上面的几个例子，你能提出一个数学命题吗？

学生通过计算、测量、交流后，得出命题：

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

分析：这个命题与上节课所学的勾股定理的题设和结论正好相反，即第一个命题的题设是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的题设，我们把这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做它的逆命题。

问题4：若原命题为“同位角相等，两直线平行”，那么它的逆命题是什么？如果原命题正确，那么逆命题也一定正确吗？为什么？

学生经过交流讨论后，教师评析。

【设计意图】通过学生的计算、画图、度量等活动，用自己的语言来归纳出相关的结论，并通过举例加深对互逆命题的理解。

三、巩固练习

问题5：从以上的学习，我们知道，△ABC中如果a=3cm,b=4cm,c=5cm,三边之间存在a2+b2=c2的关系，那么△ABC应该是直角三角形，那么我们要如何证明呢？

分析：要直接证明某个角是直角有一定难度，可以考虑其他方法，如用我们较为熟悉的三角形全等来证明。

我们可以先画一个△DEF，使∠F=90°，EF=3,DF=4，假如△ABC与△DEF完全重合的话（全等）的话，能不能说明△ABC是直角三角形呢？

学生尝试去解决问题

学生探究、讨论后，师生共同总结：

用三角形全等可以证明勾股定理的逆定理是正确的，我们把它称为勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。

【例1】判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

（1）a=15,b=8,c=17;（2）a=13,b=14,c=15.

学生尝试去解决，教师点拨：

根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是不是等于最长边长的平方。

【设计意图】通过学生对勾股定理逆定理证明方法的探究，让学生体会到“猜想”与“证明”的不同含义，培养学生的推理能力，通过练习，让学生明确原命题与逆命题，原定理与逆定理间的关系。

四、课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获？

本节课主要学习、探究了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

【设计意图】培养学生的语言表达和归纳能力，进一步巩固掌握勾股定理的逆定理。

五、随堂作业

（一）选择题

1、下列命题中，正确的有（ ）

（1）关于某直线对称的两个三角形是全等三角形；（2）真命题的逆命题是真命题；（3）原命题是假命题，它的逆命题也是假命题；（4）勾股定理与其逆定理是互逆定理。

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1：2：3 B.三边长分别是0.3、0.4、0.5 C.三边长之比为2：2：3 D.三边长分别为11,60,61 3、三角形三边长之比分别为（1）1:2:3；（2）3:4:5；（3）1.5:2:2.5；（4）4:5:6，其中可以构成直角三角形的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

（二）填空题

4、三角形三边长分别是6,8,10，那么它最短边上的高为____________。

5、一个三角形花坛的三边长分别为5cm,12cm,13cm,则这个花坛的面积是____________。

6、下列命题中，其逆命题成立的是____________（填序号）. ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等；④如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

（三）解答题

7、阅读下列题目的解题过程：

已知：a,b,c为△ABC的三边长，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状。

解：因为a2c2-b2c2=a4-b4 ①所以c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2) ②所以c2=a2+b2 ③所以△ABC是直角三角形。

上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号__________；错误的原因为__________；本题正确的结论为：____________。

请写出证明过程

8、已知：如右图，AB=20,BC=15,CD=7,DA=24,∠B=90°，探究∠A与∠C的数量关系？

板书设计

18.2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。