6.圆的面积公式及简单应用国家优质课一等奖

《圆的面积》教学设计

教学内容：苏教版第十册数学教科书96-99内容。

教学目标：

1.让学生经历猜想、操作、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决简单的相关问题。

2.经历圆的面积公式的推导过程，进一步体会“转化”的数学思想，增强空间观念，发展数学思考。

3.感悟数学知识内在联系的逻辑之美，体验发现新知识的快乐，增强学生的合作交流意识和能力，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点：正确掌握圆面积的计算公式。

教学难点：圆面积计算公式的推导过程。

教具准备：多媒体、多个圆、剪刀等。

教学方法：多媒体演示，动手操作，合作交流等。

教学过程：

一、开门见山，揭示课题

师：（出示一个圆）大家看，这是什么图形？

师：(贴在黑板上)我们已经认识了圆，学习了圆的周长，圆的周长怎么求？

师：（教师板书公式）这节课我们一起来学习圆的面积。（板书课题：圆的面积）

【设计意图】：由于学生熟悉了研究平面图形的思路：认识特征——周长——面积，所以老师采用了开门见山、直奔主题的引入方式，既有利于学生形成研究问题的思路，把新知识纳入已有的认知结构，又简洁明快，结构紧凑，为学生后面的探究提供了时间上的保证。 二、明确概念，初步感知设疑

1、教学圆的面积定义。

师：（课件出示3个大小不同的圆）哪个圆的面积最大？哪个圆的面积最小？

师：那请你想一想，什么是圆的面积呢？

生：圆的大小就是圆的面积。

师：你的意思是说把圆所占平面的大小叫做圆的的面积。说得真好！（课件出示圆面积的概念）

【设计意图】：在复习引导中让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫。

2、数方格，初步体会求圆面积的方法

师：（留下最大的圆，隐去另外两个圆）这个圆的面积有多大？（学生面露难色）

师：大家都知道，圆是曲线图形，还记得三年级时我们是怎样研究曲线图形的？如树叶、手掌的面积。

生：数方格。

师：那我们也来数一数吧！（教师顺势在圆上蒙上方格膜）每个小格表示1平方厘米。（学生数方格）

师：对用数方格方法研究圆面积的大小，你有什么看法？

师：（追问）为什么是大约的数据呢？

师：那么，我们怎样才能准确算出圆的面积有多大？

【设计意图】：从小学生的认知特点来看，运用学生已有的数方格经验得出圆的面积，进而反思结果不够精确，产生研究圆面积计算公式的需要，符号学生的现有水平和学习的内在要

求。在这里学生自然是想到该如何计算图的面积？公式是什么？怎么发现和推导圆的面积公式的等等，自然过渡到下一个教学环节。

三、探究面积计算公式

1、初次剪拼，明确思路，体会转化

师：老师给你们一点提示，还记得我们在研究平行四边形、三角形和梯形面积公式时的推导过程吗？（请学生介绍一下，课件同时演示）

【设计意图】：平行四边形、三角形和梯形的公式推导过程是学生迁移的基础。这一环节的设计既为了勾起学生对已有知识的回忆，也是为了后进生能够与其他学生站在同一起跑线上。当然更重要的是渗透一种重要的数学思想，那就是转化的思想，引导学生抽象概括出：新的问题可以转化成旧的知识，利用旧的知识解决新的问题。

师：我们是运用了转化的方法，从而解决新的问题。（板书：转化）

师：那我们可以尝试将圆转化成已学过的图形，从而推导出它的面积计算公式吗？

师：如果我们也像推导三角形、梯形面积那样用两个完全相同的圆形，你认为可能转化成我们学过的图形吗？

师：那怎么办？

师：（板书：剪

拼）你觉得按什么剪？

师：我来试一试。（老师将圆剪成两等份）那你能把它们拼成什么学过的平面图形吗？

师：那怎么办？

生：继续剪，平均分成4份。

师：（师剪）现在我们来拼一拼。（贴在黑板上）

师：这个图形好像有点意思。像什么？

师：有的同学说它像是平行四边形，像吗？它就是平行四边形啊？

师：有点轮廓了，这思路真不错。但我们又发现剪拼成的图形和平行四边形不是很像，怎么样才能更像一些呢？

师：更像呢？

师：是这样的吗？让我们一起来剪一剪、拼一拼吧。

【设计意图】：让学生经历圆面积公式的推导过程，理解和掌握圆面积的计算公式是本节课的重点。由于圆与以前学习的直线图形性质有很大不同，对“曲线图形”转化为直线图形学生是第一次接触，对学生已有知识和经验都是一种挑战，因此，“化圆为方”的转化方法和极限思想的感受是本节课的难点。在这个环节教师成为学生的学习伙伴，在教师的引导和启发中，让每个学生都动口，动手，动脑，培养学生学习的主动性和积极性。创造一个和谐、高效的学习氛围。

2、小组合作，明确方法，体验极限

(为每个小组提供分成不同等份的圆，如8、16、32、64等份，小组合作动手拼一拼。每组选择一份作品贴在黑板上。) 师：我们来观察一下，你们拼成的图形和前一次拼成的图形相比，又有什么变化？

师：如果要让拼成的图形比它还接近平行四边形，怎么办？

师：现在如果老师让你把圆剪成128份，有什么感觉？

师：我们让电脑来帮忙。大家看，老师在电脑上把这个圆平均分了128份，拼成新的图形，你有什么发现呢？（课件演示）

师：大家再想象一下，分的份数再多呢？

师：（课件演示。师将长方形贴在黑板上，上面写上省略号。）把圆剪一剪，拼一拼，得到的图形越来越接近于长方形。我们把圆转化成了长方形，形状变了，什么没变呢？

师：这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。求出了长方形的面积，也就求出了圆的

面积，这种方法也很好。

【设计意图】：教师结合学生动手操作，充分利用多媒体，将教材中原本静态、抽象的过程动态化、具体化、形象化，给学生留下深刻的印象，有效的促进了学生对圆面积公式的理解和掌握。特别是转化中的图形渐变，直观的展示了“化曲为直”过程，为解决问题推出面积公式作了很好的铺垫，有力的突破了教学难点。

3、自主探究，深化思维，推导公式

师：数学学习不仅需要动手操作，更需要借助数字、字母和符号等进行动脑思考和推理。现在，老师想给大家提个更高的要求：能不能在动脑思考的基础上推导出圆的面积计算公式呢？这可是一个很有挑战性的任务！大家有没有信心完成？

2（学生自主探索，汇报交流，达成共识。S＝兀r）

【设计意图】：操作对于小学生学习数学是必不可少的手段和方法，但数学思维的特点是要进行逻辑思考和推理。所以让学生经历公式的推导过程,这样不但使学生加深对公式的理解,而且还能有效的培养学生的逻辑思维能力和勇于探索的科学精神,学生在求知的过程中体会到数形结合的内在美,品尝到了成功的喜悦。

4、小结

通过刚才的研究同学们推导出了圆面积的计算公式，更重要的是大家运用了转化的方法把圆这个新图形转化成了我们已经学过的图形，从而求出了圆的面积，以后大家遇到新问题都可以尝试一下。

四、解决问题

1、完成“练一练”

师：现在要求圆的面积是不是很简单了？只要知道什么条件就可以求出圆的面积了？（出示第1个圆）要算出圆这个圆的面积，你需要知道什么条件？

师：（课件出示）如果这个圆的半径是3厘米，它的面积是多少？利用公式求圆的面积。先算什么？（注意书写格式和运算顺序）根据学生回答，板书：

2S＝兀r 2 ＝3.14X3＝28.26（平方厘米）

师：知道圆的直径或者圆的周长能求出圆的面积吗？练习一题（课件出示第2个圆，独立完成，指名板演。）

2、完成例9 师：在我们的生活中有许多与圆的面积有关的题目，瞧！

师：请同学们仔细读题，看看你能获得哪些信息。想像一下想像这个喷水龙头所喷出的水会形成一个什么图形？圆心在哪儿？5米是指什么？现在你能求出他旋转一周喷灌的面积吗？（独立完成，指名板演。）

【设计意图】：为了进一步巩固学生对已学知识的理解和圆的面积公式的应用，在练习题的设计上，由浅入深，由易到难，从给出半径到给出直径再到只给出周长，这样逐步深入，让学生更深刻的掌握圆的面积公式，为后面的生活中的数学练习做准备。

3、出示例7 （1）右图中，正方形的面积是4平方厘米。课（件演示）以正方形的一个角的顶点为圆心，以正方形的边长为半径画一个圆。圆的面积有多大？

学生独立完成，汇报交流。

生：正方形的面积是4平方厘米，推想正方形的边长是2厘米，圆的半径也是2厘米，圆的面积是3.14乘2的平方等于12.56平方厘米。

（2）改变题目的条件：右图中，正方形的面积是5平方厘米，圆的面积有多大？

学生读题，思考。（教案里一片安静）

师：不就是把上题的“4”改成“5”嘛，怎么不好做了呢？

生：边长乘边长等于4厘米，边长是2厘米，圆的半径也是2厘米；现在边长乘边长等于5厘米，边长是几没法知道，也就是圆的半径不能知道，怎么求圆的面积呢？（其他学生点头称是）

师：（反问）要求圆的面积一定要知道圆的半径吗？（学生思考）

2 2教师引导学生反思S＝兀r中，r在图中指什么？S在图中指什么？这里，圆的面积和正方形的面积有着怎样关系？

2（课件演示，明确圆的面积是正方形面积的兀倍，也就是圆的面积是r的兀倍） 【设计意图】：学生根据公式一般认为计算圆的面积，必须知道半径，否则无法计算，这一2 题是已知r=5平方厘米。根据目前知识，学生没有能力求出半径，怎么办？激起学生的认2 知冲突，引导学生讨论，就会发现，除了知道r,可以求出面积，若能知道r，不必求出半径，直接利用公式计算面积，打破学生的思维定势，全面理解公式，达到对公式的进一步认 识。

四、课后拓展

师：刚才在剪拼圆的时候还有同学问我，能不能把剪下来的小扇形拼成其它的图形比如三角形或者是梯形。你们认为能吗？让我们一起来看一下。（课件出示拼的过程）

师：那利用拼成的三角形和梯形又能推导出圆面积的计算公式吗？有兴趣的同学可以课后去剪一剪、拼一拼、想一想、算一算，相信你一定会有更多的收获。