探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教案和学案内容

1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像

第一课时

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(一)

温江中学

胡泽余

[提出问题]

πx＋的图像吗？

问题1：由y＝sin x的图像能得到y＝sin4π提示：能，向左平移个单位即可．

41问题2：函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sinx的最小正周期分别是什么？

2提示：它们的最小正周期分别为2π，π，4π.

1问题3：y＝sin 2x和y＝sin 的图像是否可以由y＝sin x的图像得到？

2提示：可以．只要“压缩”或“拉伸”y＝sin x的图像即可．

1问题4：对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x，y＝sin x的函数值有什么关系？

21提示：y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x21的函数值的倍．

2[导入新知]

1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图像的影响

函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．

2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响

函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图1像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到ω的．

3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响

由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法

(1)先平移后伸缩：

(2)先伸缩后平移：

五点法作图

1π3x－在长度为一个周期的闭区间上的图像．

[例1]

作出函数y＝sin233[解]

列表：

1πX＝x－

33x 1π3x－

y＝sin233描点画图(如图所示)．

0

π

0

π

25π

23

2π

4π

0

3π

211π

23－

22π

7π

0

[类题通法]

1．“五点法”作图的实质

利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图像．

2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的步骤

第一步：列表. ωx＋φ

x 0

φ－

ωπ

2πφ－

2ωωπ

πφ－

ωω3π

23πφ－

2ωω2π

2πφ－

ωω

y 0

A 0

－A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图像．

[活学活用]

π2x＋，x∈R的简图．

画出函数y＝3sin3解：

函数图像的平移变换

π2x－的图像，可以将函数y＝cos 2x的图像(

) [例2]

为了得到函数y＝sin6πA．向右平移个单位长度

6πB．向左平移个单位长度

6πC．向右平移个单位长度

3πD．向左平移个单位长度

3ππ2π2ππ2x－＝cos－2x－6＝cos－2x＝cos2x－＝[解析]

由于y＝sin6323x－π，

cos23π为得到该函数的图像，只需将y＝cos 2x的图像向右平移个单位长度．

3[答案]

C [类题通法]

三角函数的平移变换问题的分类及策略

(1)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位．

(2)确定函数y＝sin x的图像经过变换后图像对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值．

[活学活用]

1π1要得到函数y＝sinx的图像，只需将函数y＝sin2x＋4的图像(

) 2πA．向左平移个单位长度

4

πB．向右平移个单位长度

4πC．向左平移个单位长度

2πD．向右平移个单位长度

2解

函数图像的伸缩变换

[例3]

(1)将函数y＝sin x的图像上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图像对应的函数为(

) A．y＝2sin x

C．y＝sin 2x

1B．y＝sin x

21D．y＝sin x

2π2x－的图像？

(2)如何由y＝sin x的图像得到函数y＝3sin32π1(1)[解析]

由题意知，最小正周期变为原来的2倍，即4π，所以＝4π，因此ω＝. ω21所以所得图像对应的函数解析式为y＝sinx. 2[答案]

D πx－的图像y＝sin(2)[解]

法一：y＝sin x的图像3π将各点的纵坐标伸长为原来的3倍2x－的图像y＝siny＝3π2x－的图像．

3sin31将各点的横坐标缩短为原来的倍2向右平移个单位长度3y＝sin 2x的图像法二：y＝sin x的图像π将各点的纵坐标伸长为原来的3倍x－π＝x－的图像y＝sin 2y＝3sin 266π2x－的图像．

3sin3[类题通法]

三角函数图像伸缩变换的两种思路

向右平移个单位长度61将各点的横坐标缩短为原来的倍2

(1)y＝A1sin ω1x横坐标不变纵坐标变为原来的A2倍A1

y＝A2sin ω2x. y＝A2sin ω1x纵坐标不变

(2)y＝A1sin ω1x纵坐标不变y＝A2sin ω2x. y＝A1sin ω2x横坐标不变[活学活用]

π把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图像向左平移个单位长度，再将图像上所有点的6横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图像的函数解析式为y＝sin x，则(

) πA．ω＝2，φ＝

61πC．ω＝，φ＝

26

πB．ω＝2，φ＝－

31πD．ω＝，φ＝

212纵坐标变为原来的A2倍A1横坐标变为原来的12横坐标变为原来的121解析：选B

将y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)所得图2ππx－的图像的函数解析式为y＝sin 2x，再将此函数图像向右平移个单位长度可得y＝sin 266ππ2x－，所以ω＝2，φ＝－. 像，即y＝sin33小结

；

1、函数

y=sin(x+)的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx 的图象向左或向右平移而得到的。

2、函数

y=sinx的图象可以看作是把正弦曲线y=sinx 的图象经过沿x轴伸缩而得到的。

3、

y=Asinx的图象可以看作是把正弦曲线的y=sinx的图象经过沿y轴伸缩而得到。

作业：课本习题1.5A组2,3,4