复习参考题教案1

函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用

教学目的：

1．了解A，ω，φ的物理意义。

2．了解y=Asin(ωx+φ)实际意义，会用y=Asin(ωx+φ)的性质解题。

3. 学会y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律。

教学重难点：

1．重点：函数y=Asin(ωx+φ)的性质。

2．难点：函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用。

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入：

1．振幅变换:y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(00且ω1)的图象，可看作把正弦曲1线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）.若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3．相位变换:函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时）平行移动｜｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“左加右减”) 二、讲解新课：

A0,0中参数的物理意义

1．函数yAsinx，

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

ωx＋φ

0

φ－

ω0

π

2πφ－

2ωωπ

π－φ

ω0

3π

23πφ－

2ωω－A 2π

2π－φ

ω0 x y＝Asin(ωx＋φ)

A A0,0的有关性质

3．函数yAsinx，

4．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

探究一：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象变换

2π例1.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋3，则下面结论正确的是(

) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线π向右平移个单位长度，得到曲线C2

6B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线π向左平移个单位长度，得到曲线C2

121C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线2π向右平移个单位长度，得到曲线C2

6

1D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线2π向左平移个单位长度，得到曲线C2

12π解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sinx＋，把曲线C1上的各点的横坐标2π1缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin2x＋的图象，再把所得函22πππ数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin2x＋＋＝122122πsin2x＋3的图象，即曲线C2. 

1．掌握三角函数的图象变换的2方法

(1)平移变换

沿x轴平由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，移

左移；φ<0，右移

沿y轴平由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移

(2)伸缩变换

沿x轴伸缩

由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标1变为原来的倍

|ω|移；k<0，下移

沿y轴伸由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变缩

为原来的|A|倍

2．注意三角函数图象变换中的3问题

(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；

(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；

(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变φ换量是个单位．

ω

探究二：求y＝Asin(x＋φ)的解析式

π例2. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<211π的值为(

) 分图象如图所示，则f24的部63A．－

B．－

22C．－2 2D．－1 7ππ－＝π，则ω解析：选D 由图象可得A＝2，最小正周期T＝4×123＝2πT7π7πππ＋φ＝－2，＝2.又f＝2sin|φ|<，得φ＝，则f(x)＝21262311π11πππ5π＝2sin＋＝2sin＝－1，故选D. sin2x＋，f3241234例3．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<5π11π＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(

) π.若f＝2，f882πA．ω＝，φ＝ 312111πC．ω＝，φ＝－ 324211πB．ω＝，φ＝－

31217πD．ω＝，φ＝

324

5π11π11π5πT＝0，∴解析：选A ∵f＝2，f－＝(2m＋1)，m∈N，

888843π∴T＝，m∈N，

2m＋12π2∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，∴ω＝＝，∴f(x)＝3π32x2sin＋φ3. 25ππ由2sin×＋φ＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z. 8123π又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝. 12

1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝(3)求φ：常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

第一点

图象上升时与x轴的交点

ωx＋φ＝0 2π；

M－m2，b＝M＋m2；

T第二点

第三点

π图象的“峰点”

ωx＋φ＝

2图象下降时与x轴的ωx＋φ＝π

交点

第四点

第五点

2．谨防1种失误

一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如2π果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的．

ω

探究三：三角函数的综合应用

123角度(一) 三角函数模型的应用

例4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)π＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<的模型波动(x为月份)，已知3月份达2到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．

解析：作出函数简图如图：

. 3π图象的“谷点”

ωx＋φ＝

2

ωx＋φ＝2π

三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，

2ππ由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝. T6ππ将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，∴φ＝0，

62

π7π*故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N)．∴f(7)＝2 000×sin66＋7 000＝6 000. 故7月份的出厂价格为6 000元．

答案：6 000 [题型技法] 三角函数模型在实际应用中体现的2个方面

(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；

(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．

角度(二) 函数零点(方程根)问题

ππ例5．函数y＝sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜在同一个周期内，当x＝时，y247π取得最大值1，当x＝时，y取得最小值－1. 12❶

若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0＜a＜1)，则在[0,2π]内的

❷

所有实数根之和为(

) ❸

11π9π7π5πA.

B. C. D.

2222[学审题] ①由在同一周期内给出y取得最大值、最小值时对应的x值，可推导出最小正周期T；

②在一个周期内有两个根满足f(x)＝a，可结合图象推出两根关系；

③应想到在[0,2π]内有几个周期．

7ππ2π解析：选A 由题意可得＝2×－，所以ω＝3. 4ω123π3πππ又sin＋φ＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k4424∈Z)．

πππ又|φ|<，所以φ＝－，所以函数f(x)＝sin3x－. 424π2π由于f(x)＝sin3x－的最小正周期为，

43π所以f(x)＝sin3x－在[0,2π]内恰有3个周期，

4π所以sin3x－＝a(0

4由小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6，

πππ2kπ令3x－＝2kπ＋，k∈Z，可得x＝＋，(k∈Z)．

4243π2πππ依据f(x)图象的对称性可得x1＋x2＝2×＝，x3＋x4＝2×＋＝3424π4π19π11π，x5＋x6＝2×＋＝，

4366π11π19π11π故所有实数之和为x1＋x2＋…＋x6＝＋＋＝.故选A. 2662[题型技法] 三角函数的零点、不等式问题的求解思路

(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)；

(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；

(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．

角度(三) 三角函数图象与性质的综合应用

π例6．(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝sin ωx－sinωx＋(ω>0)．

33(1)若f(x)在[0，π]上的值域为－，1，求ω的取值范围；

2ππ(2)若f(x)在0，上单调，且f(0)＋f＝0，求ω的值．

33π131ωx＋解：f(x)＝sin ωx－sin＝sin ωx－sin ωx－cos ωx＝3222π3sin ωx－cos ωx＝sinωx－. 32πππ(1)由x∈[0，π]⇒ωx－∈－，ωπ－，又f(x)在[0，π]上的值3333π3域为－，1，即最小值为－，最大值为1，则由正弦函数的图象可知≤222π4π55ωπ－≤，解得≤ω≤. 336355∴ω的取值范围是，. 63π(2)因为f(x)在0，上单调，

3Tπππ所以≥－0，则≥，

23ω3即ω≤3，又ω>0，所以0<ω≤3，

πππ由f(0)＋f＝0且f(x)在0，上单调，得，0是f(x)图象的对称中336心，

ωππ∴－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，

63又0<ω≤3，所以ω＝2. [题型技法]

解决三角函数图象与性质综合问题的步骤

(1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；

(2)构造f(x)＝a2＋b2aa＋b22·sin x＋ba＋b22·cos x；

(3)和角公式逆用，得f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；

(4)利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研究三角函数的性质；

(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．四、课后作业：

略