复习参考题教案（名师）

5.3 平面向量的数量积导学案

【考纲解读】1．理解平面向量数量积的含义

2.了解平面向量的数量积与向量的投影的关系

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系。

【复习指导】

本节复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．

【基础梳理】

1．两个向量的夹角

→→已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ( )叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b ；当θ＝ 时，a与b反向；如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作ab. 2.

向量的投影：设θ为a与b的夹角

向量a在b方向上的投影是 ;向量b在a方向上的投影是 .

3．两个向量的数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝ . 4．向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与 的数量积．

5．向量数量积的性质

设a、b都是非零向量，θ为a与b的夹角．则

(1)aaa ；(2)a ；

(3)a⊥b⇔ (4）cos . 6．平面向量数量积的坐标运算

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

⑴a·b＝ ；(2)|a|＝ ；

(3)cos〈a，b〉＝ ；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔ . 7．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【基础巩固】判断下列命题的真假.

①两个向量的数量积是一个向量; （ ）

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②a在b方向上的投影是向量; （ ）

③若ab>0,则a和b的夹角为锐角;若

ab<0,则a和b的夹角为钝角; （ ）

④两个向量的夹角的范围是[0,错误！未找到引用源。]; （ ）

⑤ab =0,则

ab. （ ）

⑥(a·b)·c=a·(b·c) （ ）

【考点突破】

【例1】 (1)已知|a|=4,|b|=3, a与b的夹角为120°,则b在a方向上的投影为( )(A)2 (B)(C)-2 (D)-错误！未找到引用源。

(2)已知a32（1，2），b(1,1)则abab等于 (3)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.则a与b的夹角为

(4)设向量a,b,满足|a|=|b|=1, a·b=-错误！未找到引用源。,则|a+2b|等于 (5)已知正方形ABCD的边长为2,E是CD的中点，则AEBD等于(

) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【例2】(2017年全国Ⅱ卷)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内的一点，则

PAPBPC

的最小值是

【反思归纳】：

一、求向量数量积的方法

在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是建立直角坐标系把的两个向量坐标表示出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．

二、利用数量积求解长度的处理方法

①aa=aa

②aba2abb ③若a(x,y),则a【即时训练】

(1)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,（a2b）（ab）6 ,则向量a与b的夹角为 ⑵已知

a1,b2，且a,b的夹角为22222x2y2

，那么4ab

3⑶已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(xR)，若ab，则x=

⑷已知向量a(m,3),b(1,m2)，若a与b的夹角为锐角，则m的取值范围为

⑸在△ABC中，AC3,BC4,C90,D是BC的中点，则BAAD的值为 22⑹已知点A,B,C在圆xy1上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则

PAPBPC 的最大值为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9

【课堂小结】：

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作业：跟踪训练二十七

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