2.1.3 相等向量与共线向量优秀教案范文

§2.13

相等向量与共线向量

学习目标

1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．

知识点

相等向量与共线向量

→→思考1

已知A，B为平面上不同两点，那么向量AB和向量BA相等吗？它们共线吗？

→→答案

因为向量AB和向量BA方向不同，所以二者不相等．又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线．

思考2

向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？

答案

不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．

思考3

若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？

答案

不一定．因为当b＝0时，a，c可以是任意向量．

梳理

(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．

①记法：向量a平行于b，记作a∥b. ②规定：零向量与任一向量平行．

(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．

1．向量就是有向线段．(

×

) 提示

向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段．

→→→→2．如果|AB|＞|CD|，那么AB＞CD.(

×

) 提示

向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小．

3．若a，b都是单位向量，则a＝b.(

×

) 提示

a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同．

4．若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同．(

√

) 提示

若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同．

5．零向量的大小为0，没有方向．(

×

) 提示

任何向量都有方向，零向量的方向是任意的．

相等向量与共线向量

例2

(1)下列说法正确的是________．(填序号) ①若a≠b，则a一定不与b共线；

→→②若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；

→→③在平行四边形ABCD中，一定有AB＝DC；

④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；

⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；

⑥若a∥b，b∥c，则a∥c. 考点

相等向量与共线向量

题点

相等向量与共线向量的性质与判定

答案

③④⑤

解析

①两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可→→能，故①不正确；②AB＝DC，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平→→→→→→行四边形ABCD中，|AB|＝|DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，③正确；④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确；⑤a＝b，则|a|＝|b|且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|且b与c方向相同，则a与c方向相同且模相等，故a＝c，⑤正确；若b＝0，由于a的方向与c的方向都是任意的，a∥c可能不成立，故⑥不正确．

(2)如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．

→①写出与EF共线的向量；

→②写出与EF的模相等的向量；

→③写出与EF相等的向量．

考点

相等向量与共线向量

题点

几何图形中的相等向量与共线向量

解

①因为E，F分别是AC，AB的中点，

1所以EF∥BC，EF＝BC. 2又因为D是BC的中点，

→→→→→→→→所以与EF共线的向量有FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB. →→→→→→②与EF模相等的向量有FE，BD，DB，DC，CD. →→→③与EF相等的向量有DB与CD. 反思与感悟

相等向量与共线向量的探求方法

(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．

(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．

跟踪训练2

如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．

→(1)与OA的模相等的向量有多少个？

→(2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？

→(3)与OA共线的向量有哪些？

考点

相等向量与共线向量

题点

几何图形中的相等向量与共线向量

→解

(1)与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．

→(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与OA的长度相等、方向相反的向量有→→→→AO，OD，FE，BC，共4个．

→→(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与OA共线的向量有BC，→→→→→→→→CB，EF，FE，AO，OD，DO，AD，DA，共9个．

类型三

向量的表示及应用

例3

一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．

→→→(1)作出向量AB，BC，CD；

→(2)求|AD|. 考点

向量的表示方法

题点

向量的几何表示

→→→解

(1)向量AB，BC，CD如图所示．

→→→→(2)由题意，可知AB与CD方向相反，故AB与CD共线，

→→∵|AB|＝|CD|，

∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

→→→→∴AD＝BC，∴|AD|＝|BC|＝200 km. 反思与感悟

准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．

跟踪训练3

在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

考点

向量的表示方法

题点

向量的几何表示

解

(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等(作图略)．

(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略).

1．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是(

) A．单位圆

C．线段

考点

向量的表示方法

题点

向量的几何表示

答案

A 2．下列结论正确的个数是(

) ①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

②向量的模是一个正实数；

③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④若|a|>|b|，则a>b. A．0

B．1

C．2

D．3 考点

向量的概念

题点

向量的性质

答案

B 解析

①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对．

3．设b是a的相反向量，则下列说法中一定错误的是______(填序号)．

①a∥b；②a与b的长度相等；③a是b的相反向量；④a与b一定相等．

考点

相等向量与共线向量

题点

相等向量与共线向量的性质与判定

答案

④

4．如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________．(填序号) B．一段弧

D．直线

→→①AO＝OC；

→→②AO∥AC；

→→③AB与CD共线；

→→④AO＝BO. 考点

相等向量与共线向量

题点

几何图形中的相等向量与共线向量

答案

①②③

→→解析

AO与OC方向相同，长度相等，∴①正确；

→→∵A，O，C三点在一条直线上，∴AO∥AC，②正确；

→→∵AB∥DC，∴AB与CD共线，③正确；

→→AO与BO方向不同，∴二者不相等，④错误．

1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．

2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．

3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.

一、选择题

1．下列说法正确的是(

) →→A．向量AB与BA是相等向量

B．共线的单位向量是相等向量

C．零向量与任一向量共线

D．两平行向量所在直线平行

考点

相等向量与共线向量

题点

相等向量与共线向量的性质与判定

答案

C →→解析

向量AB与BA是相反向量，不是相等向量，故A错；共线的单位向量可能是相等向量，也可能是相反向量，故B错；零向量与任一向量共线，故C正确；两平行向量所在直线可能平行，也可能重合，故D错．

→→→2．设O是△ABC的外心，则AO，BO，CO是(

)

A．相等向量

C．平行向量

考点

向量的表示方法

题点

向量的模

答案

B B．模相等的向量

D．起点相同的向量

→→→解析

因为O是△ABC的外心，所以|AO|＝|BO|＝|CO|，故选B. 3．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则(

) →→A.AB与AC共线

→→C.AD与AE相等

考点

相等向量与共线向量

题点

几何图形中的相等向量与共线向量

答案

B 解析

如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC.→→所以DE与CB共线．

→→B.DE与CB共线

→→D.AD与BD相等

4.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(

)

→→A．与AB相等的向量只有1个(不含AB) →→B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB) →→C.BD的模恰为DA的模的3倍

→→D.CB与DA不共线

考点

向量的表示方法

题点

向量的模

答案

D →→→→→→→→解析

由于AB＝DC，因此与AB相等的向量只有DC，而与AB的模相等的向量有DA，DC，AC，→→→→→→CB，AD，CD，CA，BC，BA，因此选项A，B正确．而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，

3→→→→→→→→∴|DO|＝|DA|，故|DB|＝3|DA|，因此选项C正确．由于CB＝DA，因此CB与DA是共线的，2故选D. 5.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是(

)

→→A．|AB|＝|EF| →→B.AB与FH共线

→→C.BD与EH共线

→→D.CD＝FG

考点

相等向量与共线向量

题点

几何图形中的相等向量与共线向量

答案

C 二、填空题

→→→→6．在四边形ABCD中，若AB＝DC且|AB|＝|AD|，则四边形的形状为________．

考点

相等向量与共线向量

题点

相等向量与共线向量的应用

答案

菱形

→→解析

∵AB＝DC，∴AB＝DC，AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

→→∵|AB|＝|AD|，∴四边形ABCD是菱形．

7.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：

→(1)图中与AB共线的向量有________；

→(2)图中与AB相等的向量有________；

→(3)图中与AB的模相等的向量有________；

→(4)图中与EC相等的向量有________．

考点

相等向量与共线向量

题点

几何图形中的相等向量与共线向量

→→→→→→→答案

(1)DC，BE，BA，CD，EB，AE，EA

→→(2)DC，BE

→→→→→→→→→(3)BA，BE，EB，DC，CD，AD，DA，BC，CB

→(4)BD

三、解答题

→→→→8.如图所示，在四边形ABCD中，AB＝DC，N，M分别是AD，BC上的点，且CN＝MA，求→→证：DN＝MB.

考点

相等向量与共线向量

题点

相等向量与共线向量的性质和判定

→→证明

∵AB＝DC，∴AB＝DC且AB∥DC，

→→∴四边形ABCD是平行四边形，∴CB＝DA，

→→又CN＝MA，∴CN＝MA，CN∥MA，

∴四边形CNAM是平行四边形，

→→∴CM＝NA，∴CM＝NA，CM∥NA. ∵CB＝DA，CM＝NA，∴MB＝DN. →→又DN∥MB，∴DN与MB的模相等且方向相同，

→→∴DN＝MB. 四、探究与拓展

9．给出以下5个条件：

①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号) 考点

相等向量与共线向量

题点

相等向量与共线向量的性质与判定

答案

①③④

解析

相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④成立．