探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期课堂实录【2】

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第二课时) 教学设计

海口市琼山中学

郭小兰

一、背景分析：

本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容共两课时，这里讲的是第二课时。正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、化归思想、整体思想等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。 二、教学目标：

1.知识与技能:观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。 2.过程与方法：培养分析、推理、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；增强自主探究的能力。 3.情感、态度与价值观：经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。

三、教学重难点

教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性。 教学难点: 正弦函数、余弦函数的单调性的应用。

四、教学流程：

(一)导入环节

1.复习一：正、余弦函数的图象

1-6-5-4-3-2--1y023456xfx = sinx1-6-5-4-3-2--1y023456x

fx = cosx复习二：正、余弦函数的周期性

正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2. 余弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期是2. 2.设计意图：回顾正、余弦函数的图象和周期性，为这节课即将进行的根据图象探究函数的单1

调性等性质做准备。

(二)探究环节

1.探究一：正弦函数的单调性

正弦曲线ysinx(xR)中国教育出版网

y023456x1-6-5-4-3-2--1fx = sinxysinx(xR)在[

22k,22k](kZ)上单调增，函数值从-1增加到1，在[22k,32k](kZ)上单调减，函数值从1减小到-1. 22.探究二：余弦函数的单调性

余弦曲线ycosx(xR)

y023456x1-6-5-4-3-2--1fx = cosxycosx(xR)在[2k,2k](kZ)上单调增，函数值从-1增加到1，在[2k,2k](kZ)上单调减，函数值从1减小到-1. 设计意图：师生共同探究学习，先根据正弦函数在一个周期上的单调区间，推广到在整个定义域上的单调区间，然后由正弦函数的性质类比得到余弦函数的性质，让学生零距离接触知识点的生成，进一步体会三角函数周期性的运用，根据图象得出函数的性质，深化数形结合、由特殊到一般、类比等数学思想方法。

(三)应用环节

应用一：利用单调性比大小：

例1

下列式子中正确的是（ ）

（1）sin(

18)与sin(10)

（2）

cos(239)与cos()

54分析：比较大小，一般可通过做差法比较，做商法比较，或者利用函数单调性比较（其中三角函数的大小，还可以通过三角函数线来进行比较）。如果用单调性比较同名三角函数值的大小，关键是考虑它是否在同一单调区间上，若是，即可判断，若不是，需化成同一单2

调区间后再作判断。如不同名，要先化成同名函数。

解：（师生共同完成，注意书写规范）

（1）因为 210182ysinx在,上是增函数 22∴

sin(（2）略 方法总结：

18)sin(10). 比较同名三角函数值的大小，一般先运用诱导公式把角化在同一个单调区间上，利用三角函数单调性来比较大小。

设计意图:函数单调性的初步应用，第1小题是直接在一个单调区间上完成，第2小题由于角不在同一个单调区间上，教师引导学生利用诱导公式将角化为一个单调区间内，注重了前后知识点的联系，体会知识的系统化。

应用二：求三角函数的单调区间

例3：求函数y=sinx的单调递增区间. 12解:令t=x.函数y=sint的单调递增区间是

221由-+2kπ≤x≤+2kπ, k∈Z

22212［+2kπ,+2kπ］，k∈Z. 得+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z. 所以所求单调增区间为[+4kπ,+4kπ],k∈Z.

1231变式2：求函数y=sin(x+)x[2,2]的单调递增区间

23变式1：求函数y=sin(x+)的单调递增区间

方法总结：

求三角函数的单调区间，应把三角函数符号后的角看成一个整体，注意有时需要用诱导公式把x的系数化为正数，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性。

设计意图:例题和两个变式在三角函数式上体现了层层推进的教学思路，逐步深入，符合高一学生的认知水平。

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(四)巩固环节

课后作业：P46页

习题1.4

A组

第4、5题

设计意图: 通过作业反馈，找出学生存在问题，加深正、余弦函数单调性的理解和记忆。

(五)小结环节

课堂小结：

1.知识

正、余弦函数的单调性；

2.思想方法：数形结合、化归的思想、整体思想。

设计意图:引导学生整合整节课的知识和思想方法，总结本节课的收获。

(六)拓展环节

思考题：

1.求函数ysin(2.函数y2sin31x)，x[2,2]的单调递增区间. 21x存在最值吗？ 2设计意图:第1思考题是拓宽例2求函数单调区间的思路，第2思考题是引入函数的最值问题，明确下一课时的学习内容，学生带着问题预习，学习有目标性。

板书设计：

课题

正弦函数的单调区间

例1

例2

余弦函数的单调区间

设计意图: 板书简洁明了，思路清晰；书写格式规范，起到以身作则的作用。

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