小结名师教学设计

《平面向量的综合运用》教案

世纪中学

赵

越

[教学目标] 1.

通过对2016、2017年部分高考题的探究掌握基底法；

2.

体会并应用平面向量中的数形结合；

3.

通过介绍平面向量，使学生知晓其工具作用，意识到其重要性。

[教学重难点] 【教学重点】解决平面向量问题的两种解法

【教学难点】平面向量中的数形结合思想及其灵活运用

【教学过程】

一、复习回顾

本章知识网络

引领学生完成以上知识网络

二、习题探究

【小试牛刀】

1.（2017•新课标Ⅰ）已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=

7

．

【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出向量垂直的条件能求出m的值．

【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），

∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，

，再由向量+与垂直，利用

∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．

【说明】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．

2.（2016年全国I高考）设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=

. 【答案】2

【解析】试题分析：由|ab|2|a|2|b|2，得ab，所以m1120，解得m2. 【说明】：向量的数量积及坐标运算

3.（2016年山东高考）已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=则实数t的值为

（A）4

（B）–4

（C）1.若n⊥（tm+n），39

49

4（D）–12【答案】B【解析】

因为nm=m•ncos=n，

42由n⊥(tm+n)，有n(tm+n)=tmn+n=0，即(+1)n=0，所以t=—4 t42【说明】平面向量的数量积

三、新课讲解

一、平面向量运算中的基向量

uuuruuuur1.（2015课标1）设D为ABC所在平面内一点，且BC3CD则（

）

uuurr4uuuruuur1uuur4uuur1uuu（A）ADABAC

(B)ADABAC

3333uuur4uuur1uuuruuur4uuur1uuur（C）ADABAC

(D)ADABAC

3333【解析】本题考查平面向量，画出图形，

uuuruuuruuuruuur1uuuruuur1uuuruuurr4uuur1uuuADACCDACBCAC(ACAB)ABAC3333可知答案为A. 2.（2016年天津高考）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB,BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则AFBC的值为（

）

（A）5

8

（B）1

8（C）1 4

（D）118

【答案】B【解析】

试题分析：设BAa，BCb，∴DE1133AC(ba)，DFDE(ba)，

2224

1353AFADDFa(ba)ab，∴2444532531AFBCabb，故选B.【说明】向量数量积

448483.（2017•天津）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若∈R），且=﹣4，则λ的值为

．

=2，=λ﹣（λ【解答】解：如图所示，

△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，

=2，∴=+=（﹣=++=+（﹣﹣）

）=+，又=λ﹣（λ∈R），∴=（λ﹣）•）•（λ+λ=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，∴故答案为：

λ=1，

．

【说明】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．

第一道简单入门，让学生回忆基向量法，第二三道题交给学生自己思考延伸发展，同时叫两名学生板演，巩固解决平面向量的基本解法。

三、平面向量中的数形结合

1.（2017•新课标Ⅰ）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=

2

．

【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．

【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，

∴=+4•+4=22+4×2×1×．

cos60°+4×12=12，∴|+2|=2【解法二】根据题意画出图形，如图所示；

结合图形=+=+2；

在△OAC中，由余弦定理得

||==2，即|+2|=2．故答案为：2．

【说明】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．通过数形结合简化计算，缩短用时，同时给出其他

rrrrrrrrr简单练习abab2a，则ab与ab的夹角为？

2．（2017•新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+）的最小值是（

）

A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），

=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，设P（x，y），则﹣y），则•（=（1﹣x，﹣y），

+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣2）﹣]

∴当x=0，y=故选：B

时，取得最小值2×（﹣）=﹣，

【说明】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键．

3（2017 浙江）已知向量a,b满足a1,b2，则a+bab的最小值是

，最大值是

。

四、课堂小结

1.数量积及其应用

本章重难点，对定义及运算律理解透彻才能灵活应用

2.数形结合思想

向量加、减法运算的核心，向量是有“形”的量，结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧

3.解决向量问题的两种途径

几何法和代数法，从不同角度考虑，注重坐标运算可以使向量运算完全代数化，从而简化解题过程与方法

最后以现代诗《向量的魅力》结束课堂给你一个方向

你就是我的向量

给你一个坐标系

你就让我的思绪飞扬

给你一组基底

你就引领我扬帆远航

啊，向量

你把繁杂的几何关系

变成纯代数的情殇

【设计意图】再次唤醒学生心中关于向量的解决问题的方法及对数学美的认识

五、板书设计

分三版，第一版以向量做基础画思维导图，二版三版用来版演习题，讲解问题

六、习题测验

1、（2016年全国II高考）已知向量a(1,m)，a=(3,2)，且(a+b)b，则m=（

）

（A）－8

（B）－6

（C）6

（D）8 【答案】D uuuvuuv13312、（2016年全国III高考）已知向量BA(,) ,BC(,),

则ABC= 2222(A)30 (B) 45 (C) 60 (D)120

【答案】A 00003.（2017•山东）已知，

是互相垂直的单位向量，若

．

﹣

与+λ的夹角为60°，则实数λ的值是

4.（2016年浙江高考）已知向量a、b, ｜a｜

=1，｜b｜

=2，若对任意单位向量e，均有

｜a·e｜+｜b·e｜b的最大值是

．

6

,则a·

【答案】1

25.（2017•新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（

）

A．⊥

A．

6.（2016年四川高考）在平面内，定点A，B，C，D满足DA

=DB=DC,DA﹒DB=DB﹒DC=DC﹒DA=-2，动点P，M满足AP

=1，PM=MC，则BM2的最大值是

B．||=||

C．∥

D．||＞||

（A）4349376337233

（B）

（C）

（D）

4444【答案】B