探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质教学实录及点评

正弦函数、余弦函数的图象

一、教学目标

（一）学习目标

1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数图象. 2.会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数简图. 3.掌握作正弦函数和余弦函数图象的特征，能利用其解决三角不等式等问题.

（二）学习重点

正弦函数和余弦函数图像的作法. （三）学习难点

1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.

2.运用图象变换法作余弦函数图象. 二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）读一读：阅读教材第30页到32页. （2）想一想：用三角函数线如何画正弦函数的图象. （3）画一画：三角函数线. 2.预习自测

（1）给定角，画出它的的正弦线、余弦线. （2）任意给定一个实数x,有

唯一确定的值

sinx

(或cosx)与之对应,由这个对应法则所确定的函数ysinx(或ycosx)叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域为R. （3）用五点法作图，在正弦函数ysinx,x[0,2]的图象上,起关键作用的5个点为: 0,0

、_,123,1,0___、___2____、___2,0__. ____、___(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）正弦线、余弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段

PM 叫做角的正弦线，有向线段

OM

叫做角的余弦线.

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（2）函数图像的画法（描点法）：列表、描点、连线. 【设计意图】回顾旧知，让探究始于思维邻近发展区. 2.问题探究

探究一

如何得到正弦函数ysinx的图象？

学生方法：列表描点法.（步骤：列表，描点，连线）

如果我们仍用描点法来画正弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在计算相应的函数值时，都是利用计算机或数学用表得来的，大多是近似值，因此不易描出对应点的准确位置，画出的图象不够准确.为此我们应考虑其他方法来作正弦函数的图象. 【设计意图】利用已有知识经验解决新问题. （一）正弦函数的图象

（1）几何法：用单位圆中的正弦线----几何画法；

第一步：列表.在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、…26等角的正弦线(例如有向线段O1B对应于角的正弦线). 2第二步：描点.把x轴上从0到2这一段(2≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于2角的点)，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点2重合). 第三步：连线.把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来. yB3π22πO1AOπ2πx

我们看到的这段光滑曲线就是函数ysinx在x0,2上的函数. 因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysinx在

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x［2k，2(k＋1)］，kZ且k0上的图象与函数ysinx在x0,2上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数ysinx，x0,2的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysinx在xR上的图象. y-5π-4x-3π-2π-ππ2π3π4π5πx

O这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数ysinx在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线. 【设计意图】让学生体会原有的描点法的优缺点：精确度较高但步骤繁琐. 思考：用前面的方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢? (2) 用五点法作正弦函数的简图

在函数ysinx,x[0,2]的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：

3(0,0)，

(,1)，

(,0)，

(,-1)，

(2,0)

22事实上，描出这五个点后，函数ysinx,x[0,2]的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”. 【设计意图】让学生通过前面作的正弦函数的图象，捕捉这种周期函数图象的关键信息，归纳简图作法的关键节点与图象大致走势，培养学生的图形直观，归纳总结的能力. 探究二

如何得到余弦函数ycosx的图象? （二）余弦函数的图象

●活动①：你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗? （1）图象变换法：利用图象平移，sin(x)cosx，将正弦函数ysinx的图象向左平移22个单位即可得到余弦函数ycosx的图象.

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由诱导公式可知：y=cosxsin(＋x)sin(x＋)余弦函数ycosx，xR与函数22ysin(x＋)，xR是同一个函数. 2而ysin(x＋)，xR的图象可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到. 22

y o y x x

现在看到的曲线也就是余弦函数ycosx在xR上的图象，即余弦曲线. （2）五点法：

●活动②：类似于正弦函数图象的5个关键点,请找出余弦函数的5个关键点,并填入下表,然后作出ycosx,x[0,2]的简图

x

cosx

同样，可发现在函数ycosx,x[0,2]的图象上，起着关键作用的点是以下五个：

3(0,1)，

(,0)，

(，-1)，

(,0)，

(2,1)22与画函数ysinx,x[0,2]的简图类似，通过这五个点，可以画出函数ycosx,x[0,2]的简图.

●活动③

巩固基础，检查反馈

例1用“五点法”作出下列函数的简图

(1) y1＋2sinx，x0,2；

(2) y2cosx，x0,2.

【知识点】五点法作三角函数的图象

【数学思想】数形结合

4 / 11

【思路点拨】在0,2

上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可. 【解题过程】（1）列表：

x

sinx

12sinx

0

0

1

2



0

1

3

22

0 1 1

3

-1

-1

3在直角坐标系中描出五点

0,1，

,3，

(,1)，

,1,(2,1)，，然后用光滑曲线22顺次连接起来，就得到y＝12sinx

，x0,2的图象.

（2）列表：

x

cosx

2cosx

描点连线，如图

0

1

3

2



-1

1

3

2

20

2

0

2

1 3

【设计意图】（1）巩固新知；（2）从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础. 同类训练

用五点法作函数y2cos(x)的简图. 3【知识点】五点法作yAcosx的函数图像

【数学思想】数形结合，函数复合

【思路点拨】令x30，2，，3275，2可得x＝-，

，

,

, 236363【解题过程】（1）列表：

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x3

0

2

2

332

27

6x

3

6

53

2cosx

3（2）描点连线

y-π3π62π37π65π32

0

-2

0

2 xO

【设计意图】

在例1的基础上做变式拓展，培养整体思想与复合函数的思想. ●活动4

强化提升、灵活应用

例3

画出ysinx的简图，并根据图像写出y【知识点】三角函数线和三角函数图像的应用

【数学思想】数形结合

【思路点拨】利用正弦函数与余弦函数图象或单位圆寻求满足条件的取值. 1【解题过程】利用“五点法”作出ysinx的简图，过点0,作x轴的平行线，在0,2上直21时x的集合. 2线y11151与正弦曲线交于,，,两点.在0,2内，满足y时x的集合为2262625512k,kZ

xx.因此，当xR时，若y，则x的集合为x2kx66266

52k,kZ

【答案】x2kx66【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力.

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x例3

判断方程－cos

x＝0根的个数. 4【知识点】三角函数图像的应用

【数学思想】函数方程与数形结合

【思路点拨】当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数. x【解题过程】设fx＝，gx＝cos

x，在同一直角坐标系中画出fx与gx的图象，如图：

4

x由图可知，fx与gx的图象有三个交点，故方程－cos

x＝0有三个根. 4【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力. 3. 课堂总结

知识梳理

（1）

正弦函数图象的几何作图法. （2）

正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）. （3）

由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象. 重难点归纳

（1）正、余弦函数图象的简单应用.(难点) （2）正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点) （三）课后作业

基础型

自主突破

1.下列叙述正确的是（

）

①y＝sinx，x[0,2]的图象关于点P(，0)成中心对称；

②y＝cosx，x[0,2]的图象关于直线x＝成轴对称；

③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝-1所夹的范围. A.0

B.1个

C.2个

D.3个

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【知识点】正弦函数、余弦函数的图象的认识. 【解题过程】分别画出函数y＝sinx，x[0,2]和y＝cosx，x[0,2]的图象，由图象观察可知①②③均正确. 【思路点拨】分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可.

【答案】D. 2.用五点法作函数y2sinx1的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是（

）

A.0, 2, , 33，2；

B.0, , , ，；

2424C.0, , 2, 3，4；

D.0, 【知识点】五点法作图的应用

6, 3, 2, 2. 3【解题过程】与作函数ysinx的图象所取的五点的横坐标一样. 【思路点拨】

结合五点法作函数ysinx的图象即可解答. 【答案】A. 3.将余弦函数ycosx

的图象向右至少平移m个单位，可以得到函数ysinx的图象，则m＝(

) A. 2

B. 

C. 33

D.

24【知识点】图象变换的应用

33【解题过程】根据诱导公式得，ysinxcosxcosx223图象，需将ycosx的图象向右至少平移.，个单位长度. 2故欲得到ysinx的，【思路点拨】

利用诱导公式或函数图象左右平移方法即可解答

【答案】C. 14.函数ysinx，x[0,2]的图象与直线y的交点有（

）

2A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

【知识点】正弦函数图象的应用

【数学思想】数学结合

1711【解题过程】在0,2内使sinx的角x为所以ysinx，x[0,2]的图象与直线和266

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1y有2个交点. 21【思路点拨】画出ysinx，x[0,2]的图象与直线y即可解答

2【答案】B 5. 用“五点法”作出函数ysinx(0x2)的简图. 【知识点】“五点法”作图

【数学思想】

【解题过程】列表，描点、连线，如图所示.

【思路点拨】利用关键的“五点”作图

【答案】上图所示

能力型

师生共研

6.函数ycosx＋cosx，x[0,2]的大致图象为（

）

【知识点】函数图象的应用

【数学思想】分类讨论思想

32cosx,0x2或2x2,【解题过程】由题意得y0,

3x22

【思路点拨】函数解析式含绝对值，一般原则去绝对值符号，画出分段函数图象，图象问题的选择题也可利用函数性质，例如单调性，对称性等解答. 【答案】D 7.求函数y2sinx1的定义域. 【知识点】函数图象的应用

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【数学思想】数形结合

【解题过程】要使y2sinx1有意义，则必须满足2sinx10，结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：

【思路点拨】利用正弦函数图象或三角函数线法. 【答案】x2k6x2k76,kZ

8.方程x2cosx0的实数解的个数是__________. 【知识点】余弦函数图象应用

【数学思想】数形结合思想

【解题过程】作函数ycosx与yx2的图象，如图所示，

由图象，可知原方程有两个实数解. 【思路点拨】作函数ycosx与yx2的图象. 【答案】2 自助餐

1.以下对于正弦函数ysinx的图象描述不正确的是(

) A.在x[2k,2k＋2]，kZ上的图象形状相同，只是位置不同

B.关于x轴对称

C.介于直线y＝1和y＝-1之间

D.与y轴仅有一个交点

【知识点】正弦函数图象的应用. 【解题过程】逐一判断. 【思路点拨】利用正弦函数图象

【答案】B 2.用“五点法”作函数ycos2x的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是(

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)

A.0, 2, , 33，2

B.0, , , ，

2424C.0，，

2，

3，

4

D.0, 【知识点】“五点法”作余弦函数图象. 【数学思想】转化与化归思想

6, 3, 2, 2

333【解题过程】令2x＝0，

，

, 和2，得x＝0，

，

,

, 

22424【思路点拨】利用作余弦函数图象的关键五点. 【答案】B 3.点M2,m在函数ysinx的图象上，则m等于(

) A.0

B.1

C.－1

D.2 【知识点】正弦函数的图象. 【数学思想】

【解题过程】由题意-msin2，m＝1，m＝-1.

【思路点拨】点代入函数解析式. 【答案】C 4.在0,2内，不等式sinx32的解集是(

) A.　(0,)　　

B. 43,345

C. ,3

D. 53,23

【知识点】正弦函数的图象应用. 【数学思想】数形结合思想

【解题过程】画出ysinx，x0,2的草图如下：

【思路点拨】画出草图解不等式. 【答案】C

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