探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期优质课教案推荐

第一课时

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)

[导入新知] 1．φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响

函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．

2．ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响

函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图1象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到ω的．

3．A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当00，ω>0)的方法

(1)先平移后伸缩：

(2)先伸缩后平移：

“五点法”作图

31π[例1]

作出函数y＝sinx－在长度为一个周期的闭区间上的图象．

233[解]

列表：

1πX＝x－

330

π

2π

3π

22π

x 1π3x－

y＝sin233描点画图(如图所示)．

π

0

5π

23

24π

0

11π

23－

27π

0

[类题通法] 1．“五点法”作图的实质

利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．

2．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表. ωx＋φ

x y 0

φ－

ω0

π

2πφ－

2ωωA π

πφ－

ωω0

3π

23πφ－

2ωω－A 2π

2πφ－

ωω0 第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，得到图象．

[活学活用] π2x＋，x∈R的简图．

画出函数y＝3sin32π解：由T＝，得T＝π.

2ππ3π(1)列表：2x＋取值为0，，π，，2π得到对应的x与y的值如下表：

322x π2x＋

3π2x＋

3sin3(2)描点．

(3)用光滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示．

π－

60

0

π

12π

23

π

3π

0

7π

123π

2－3

5π

62π

0

函数图象的平移变换

π2x－的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象(

) [例2]

为了得到函数y＝sin6πA．向右平移个单位长度

6πB．向左平移个单位长度

6πC．向右平移个单位长度

3πD．向左平移个单位长度

3[答案]

C [类题通法] 三角函数的平移变换问题的分类及策略

(1)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先将解析式化简为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，即确定A，ω，φ的值，然后确定平移的方向和单位．

(2)确定函数y＝sin x的图象经过变换后图象对应的函数解析式，关键是明确左右平移的方向的横纵坐标伸缩的量，确定出A，ω，φ的值．

[活学活用] ππ2x＋的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函1．(辽宁高考)将函数y＝3sin32数(

) π7πA．在区间12，12上单调递减

π7πB．在区间12，12上单调递增

ππ－，上单调递减

C．在区间63ππ－，上单调递增

D．在区间63答案：B π2．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象3

与原图象重合，则ω的最小值等于(

) 1A.

3C．6 答案：C

函数图象的伸缩变换

[例3]

(1)将函数y＝sin x的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数为(

) A．y＝2sin x

C．y＝sin 2x

[答案]

D π2x－的图象？

(2)如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3sin31B．y＝sin x

21D．y＝sin x

2B．3 D．9

[类题通法] 三角函数图象伸缩变换的两种思路

[活学活用] π把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的6横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sin x，则(

)

πA．ω＝2，φ＝

61πC．ω＝，φ＝

26答案：B πB．ω＝2，φ＝－

31πD．ω＝，φ＝

212

6．平移变换中的误区

ππ3x－的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横[典例]

把函数y＝sin43坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为(

) π3x＋

A．y＝sin123πx＋

C．y＝sin2123π6x＋

B．y＝sin433πD．y＝sin2x＋4

ππ3x＋π－π的3x－的图象向左平移个单位长度，[解析]

把函数y＝sin可得y＝sin43343π3x＋，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，图象，即函数解析式为y＝sin433π可得y＝sin2x＋4的图象．

[答案]

D [易错防范] ππ3x＋－，得到y＝(1)在解答过程中，若不能正确理解平移的实质，则会出现y＝sin343πx＋.从而误选C. sin212(2)在解答过程中，若对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大为原来的倍数或缩小为原3π6x＋来的几分之几把握不准，则易出现因x的系数缩小或扩大而造成失误，会出现y＝sin4等类似的错误答案．

(3)图象的左右平移是针对x而言的．图象的伸缩变换即周期变换，在变换中纵坐标不1变，横坐标变为原来的. ω[成功破障] ππ5x－的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为函数y＝sin24

1原来的，所得图象的函数解析式为(

) 23π10x－

A．y＝sin43π10x－

C．y＝sin2答案：D 7π10x－

B．y＝sin27π10x－

D．y＝sin4

一、选择题

1．为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的(

) A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变

1B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

4C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变

1D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变

4答案：B ππ2x－的图象，只需把函数y＝sin2x＋的图象(

) 2．为了得到函数y＝sin36πA．向左平移个单位长度

4πC．向左平移个单位长度

2答案：B 3．若函数y＝sin 2x的图象经过适当变换可以得到y＝cos 2x的图象，则这种变换可以是(

) πA．沿x轴向左平移个单位长度

2πB．沿x轴向右平移个单位长度

2πC．沿x轴向右平移个单位长度

4πD．沿x轴向左平移个单位长度

4答案：D 4．把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(

) πB．向右平移个单位长度

4πD．向右平移个单位长度

2

答案：A π5．将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点43π，0，则ω的最小值是(

) 41A.

35C.

3答案：D 二、填空题

2π54x＋的图象与x轴的各个交点中，6．函数y＝－sin离原点最近的一点是________．

322π54x＋＝0. 解析：令－sin322πkππ则4x＋＝kπ，∴x＝－，k∈Z. 346π故取k＝1时，x＝. 12π，0. ∴离原点最近的一点是12π，0

答案：12xπx＋的图象，需将函数y＝cos的图象上所有的点至少向左平移7．要得到y＝sin232________个单位长度．

xπxπx＋，将y＝sin＋的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度解析：cos＝sin22222xφπ得y＝sin2＋2＋2的图象．

φππ令＋＝2kπ＋，

223π∴φ＝4kπ－，k∈Z. 3B．1 D．2

11π∴当k＝1时，φ＝是φ的最小正值．

311π答案：

3ππω>0，－≤φ<图象上每一点的横坐标缩短为8．(重庆高考)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)22ππ原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象，则f6＝________. 6ππx＋的图象，解析：把函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin再把函数66πx＋图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝y＝sin61πsin2x＋6的图象，

π1×π＋π＝sinπ＝2. 所以f＝sin626642答案：2

2三、解答题

π2x＋＋1. 9．已知函数y＝sin4(1)用“五点法”画出函数的草图；

(2)函数图象可由y＝sin x的图象怎样变换得到？

解：(1)列表：

π2x＋

4x y 描点，连线如图所示．

0

π－

81

π

2π

82

π

3π

81

3π

25π

80

2π

7π

81

ππ7π2x＋＋1在－，上的图象向左、向右平移(每次π个单位长度)，

将y＝sin488π2x＋＋1的图象．

即可得到y＝sin4(2)y＝sin xπx＋

y＝sin4

π向上平移12x＋π＋1. 2x＋―y＝sin―→y＝sin4个单位长度410．将函数y＝lg x的图象向左平移1个单位长度，可得函数f(x)的图象；将函数y＝ππ2x－的图象向左平移个单位长度，可得函数g(x)的图象．

cos612(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；

(2)判断方程f(x)＝g(x)解的个数．

解：函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度，可得函数f(x)＝lg(x＋1)的图象，即图ππ2x＋π－π2x－的图象向左平移个单位长度，象C1；函数y＝cos可得函数g(x)＝cos612126＝cos 2x的图象，即图象C2. (1)画出图象C1和C2的图象如图．

(2)由图象可知：两个图象共有5个交点．

即方程f(x)＝g(x)解的个数为5.