探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）的周期教学设计及教案分析

函数y=Asin(ωx+φ

函数y=Asin(ωx+φ的图象和周期

描点画图：描点，连接，根据这五个关键点画出函数

利用函数的周期性，可以把得到的在闭区间

上的简图向左，右分别扩展，从而得到函数：y=Asin(ωx+φ)在 R的简图．

函数y=Asin(ωx+φ) R的图像可以由正弦曲线经过如下的变换得到：

（1）先把

的图像上所有的点向右平行移动φ个单位，得到

的图像；再把

的图像上的所有的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的1/ω倍，得到y=sin(ωx+φ) 的图像．

（2）先把函数

的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的A倍（横坐标不变），得到函数

的图像；再把

的图像上所有的点向右平行移动φ

个单位，得到函数y=Asin(ωx+φ) 的图像．比较正弦函数

的图像和y=Asin(ωx+φ) 图像，容易发现，对于

的图像上每一点

，在

的图像上总存在唯一一点

和它对应，因此

，y=Asin(ωx+φ)在 R的图像．可以看作是先把正弦曲线上所有的点向右平行移动φ

个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长到原来的A倍（横坐标不变）而得到；也可以看作是先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长到原来的A倍（横坐标不变）再把所得各点向右平行移动φ

个单位长度而得到．变换的次序可以改变．

一般有，函数 y=Asin(ωx+φ)． R，

的图像，可以看作是用下面的两种方法得到的：

（1）先把正弦曲线上所有的点向左（当φ>0 时）时或向右（当φ<0 时）平行移动φ

个单位长度，再把所得各点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当A<1 ）到原来的A倍（横坐标不变）

（2）先把正弦曲线上所有的点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当A<1 ）到原来的A倍（横坐标不变），再把所得各点向左（（当φ>0 ）时）或向右（当φ<0 时）平行移动φ

个单位长度．

(3) 函数y=Asin(ωx+φ的周期T=

例1函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则

( ) A.ω=，φ=

B.ω=，φ=

C.ω=，φ=

D.ω=，φ=

解.因为T=2×[3-(-1)]=8，

所以ω===，

又因为f(1)=1，所以+φ=+2kπ(k∈Z). 所以φ=+2kπ(k∈Z)，

又因为0≤φ<2π，所以φ=

.

例2函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到的图象恰好关于x=对称，则φ的最小值是________. 解,函数y=sin2x的图象向右平移后得到y=sin[2(x-φ)]的图象，而x=是对称轴，即2=kπ+(k∈Z)，所以φ=π. -(k∈Z). 当k=-1时，φ=答案：π

例3已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象如图所示，f(x)=________. 解由题干图易知A=3，而=故T=4π，ω==，

-π=2π，

所以f(x)=3sin，代入，

得sin=1，

所以+φ=+2kπ，k∈Z，解得φ=+2kπ，k∈Z，又因为|φ|<，所以φ=，所以f(x)=3sin答案：3sin例φ)如图所示. 4.

已知函数f(x)=Asin(ωx+一个周期的图象 (1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值. (2)求函数f(x)的表达式、递增区间. 解(1)由题干图知，函数f(x)的最小正周期为T=4×为-1. (2)T=，则ω=2，

=π，函数的最大值为1，最小值又x=-时，y=0，所以sin=0，

而-<φ<，则φ=，

所以函数f(x)的表达式为f(x)=sin，

由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z. 得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，

，(k∈Z).

所以函数f(x)的递增区间为例5已知函数y=Asin(ωx+φ)(A，ω>0且

|φ|<π)在一个周期内的图象如图. (1)求函数的解析式. (2)求函数的单调递增区间. 解, (1)由题干图得A=2，

T=2故y=2sin(2x+φ). 又2sin所以φ=2kπ+(2)令z=2x+=2，即sin，k∈Z，又因为|φ|<π，所以φ=，函数y=2sinz的单调递增区间是=1，

，所以函数解析式为y=2sin(k∈Z)，

. =π，ω===2，

由-+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，

得-+kπ≤x≤-+kπ(k∈Z)，

的递增区间为，k∈Z. 所以函数y=2sin

说明：以上例题的讲解，都要注意以下几点：①让学生体会得三个参数

中有两个变化就引起图像进行两种变换，进一步强化每个参数对图像变化的影响；②讲例题时仍然要坚持“数形结合”的思想，强化学生的“数”与“形”的相互联系相互制约的意识；③让学生掌握凡是用“图像变换法”画出的图像和解出的问题是否正确，都可以用“五点法”的方法进行检验．