探究与发现 利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质第一课时教学实录

课 题：正弦函数、余弦函数的性质---周期性

教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）

一、教学内容分析

《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数的其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用．对于函数性质的研究，在高一必修中已经研究了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质，因此作为高中最后一个基本初等函数的性质的研究，学生已经有些经验了，其中，通过观察函数的图象，从图象的的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想方法的应用。

由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地位，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期区间上的性质，那么就完全清楚它在整个定义域内的性质。

正弦、余弦函数的性质的难点在于对函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明都很容易，单调性只要求由图象观察，不要求证明，而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可。

二、学生学习情况分析

学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．

三、设计理念 根据“诱思探究教学”中提出的教学模式，设计的教学过程，遵循“探索—研究—运用”亦即“观察—思维—迁移”的三个层次要素，侧重学生的“思”“探”“究”的自主学习，由旧知识类比得新知识，自主探究图象与图象之间的变换关系，让学生动脑思，动手探，教师的“诱”要在点上，在精不用多。整个教学过程始终贯穿“体验为主线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索找核心，研究获本质”。

四、教学目标

知识与技能

1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．

2．会求一些简单三角函数的周期. 过程与方法

从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比研究余弦函数y=cosx的周期性．

情感、态度与价值观

让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力．

教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性．

教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期．

五、教学过程设计

教学程序

创

设

问

题

情

境

复

习

回

顾

教学内容

1、由教室前墙上贴的“课程表”发出疑问：一学期有二十几个周，一百五十多天，为什么这个“课程表”只列出五天的课程？

学生回答：

2、生活中还有哪些现象呈现出这种周而复始的现象？在我们学过的函数中，有没有这种具有周而复始现象的呢？

学生回答：正弦函数和余弦函数

从学生最熟悉的事实提出学生没有想过的问题引入，使学生了解数学来源于生活。问题的提出为学生的思维提供强大动力，激发学生的探究欲望.

引导学生回顾：

引导学生回顾1．利用五点法来画出正弦函数、余弦函数的图象

旧知为新课做准（动画演示）

备.独立完成导学2．诱导公式一：

案上的内容。

通过动画演示sinx2ksinx，

让学生直观感知周而复始的变化cosx2kcosx

kZ

规律．

探究一：正弦函数的周期性

由动画演示观察可得：正弦函数图象具有周而复始

的变化规律

设计意图

新

知

探

究

通过对正弦函数y=sinx图象观

察、分析，结合诱问题1：图象具有周而复始的变化规律是什么吗？问题2：变化规律原理是什么吗？如何用数学表达导公式，由生活中式来表达？（学生总结）

的周期现象到数变化规律：每隔2重复出现一次

学中的周期现象，原理：（诱导公式一）sinx2ksinx，kZ由具体到抽象，构探究二：走进周期函数

观察正弦函数y=sinx图象特征可知： 建出周期函数的定义，这样设计主文字叙述：在定义域内自变量x每增加或减少一个要是立足于从学定值2k,kZ，它的函数值就会重复出现。

数学符号：fx2kfx，kZ

所以说正弦函数是周期函数。

生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力,并进一步周期函数及周期的定义

周期函数定义如下：一般地，对于函数f（x）如果渗透数形结合思存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f（x）就叫做想方法. 周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

从代数的角度问题1：设任意函数fx，都有fx0fx，去定义周期函数则0是所有函数的周期，对吗？

周期T为非零常数

正弦函数ysinx的周期是T2kkZ且k0

对学生来说有一定的难度，但可以引导学生从正、余问题2：周期函数的周期是否唯一？

观察正弦函数y=sinx图象特征可知：正弦函数弦函数的角度说ysinx的周期是T2kkZ且k0，也就是明就容易得多了。

说：正弦函数的周期有2，2，4，6，8

等等，但让你选择一个代表，你会选哪个呢？

学生回答：2，即2为最小正周期。从而引出最

小正周期的定义。

最小正周期的概念.

对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个

最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周

新

知

探

究

期. 正弦函数y=sinx的最小正周期为问题3：对于正弦函数，可以找到比期吗？

有sin. 还小的周522sinsin即fx66336fx2。

3小结：周期函数定义中明确说明“定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)”上述这个等式只对也成立，所以ysinx的最小正周期是x6满足，所以错了。

探究三：探究yAsinwx(A0,w0)的周期

从例题出引周期公式：

函数

自变量x的系数w

周期

形式

y3cosx

ysin2x

1y2sinx

62引导学生紧扣定义，一切从定义出发求出最小正周期

总结：函数的周期的变化仅与自变量的系数有关，即归纳出：yAsinwxA0,w0的周期公式：T2

w课后探究四：如果函数yfx的周期是T，那么函数yfwx的周期是让学生理解最小正周期的定义，培养学生的数形结合能力．

设计判断题让学生去讨论主要是为了帮助学生正确理解周期函数概念，防止学生以偏概全，让学生学会怎样学习概念；培养学生透过现象看本质的能力，使学生养成细致、全面地考虑问题的思维品质．

让学生在自主探索、自由想象和充分交流的过程中，不断完善自己的认知结构，充分感受成功与失败的情感体验．

T吗？

w

例

题

讲

解

1、下列函数中最小正周期是的函数是（ ）

1x

A、ysinxB、ycos C、ycosxD、ycos2x

22

k2、函数ycosxk0的最小正周期不大设计例题使学34生加深对定义的于2，则正整数k的最小值是（ ）

理解，培养学生的A、10 B、11 C、12 D、13 数形结合能力．

3、函数ycosx的周期是 通过课堂反馈能准确、及时地了4、已知函数ysinwxw0的周期为，解学生对本节课33的掌握情况,做到则w 及时反馈、评价,及时查漏补缺,达5、已知函数yfx的周期为4，且当x2,2时，到堂堂清.

fxx21，求f1,f5,f2014的值。

6、讨论下列函数的周期并加以证明：（1）ysinx

（2）ysin2x （3）y2sin2xcosx

题型总结： 7、讨论方程sinxlgx根的个数。

课

堂

小

结

（1）f(xT)f(x)是定义域内的恒等式，即对定义域引导学生对所内的每一个x值，xT仍在定义域内且使等式成立. 学知识进行小结,（2）周期T是常数，且使函数值重复出现的自变量x的有利于学生对已增加值. 有的知识结构进（3）周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是行编码处理,加强指它的最小正周期. 记忆．

对周期函数概念的理解注意以下几个方面：