2.3.1 变量之间的相关关系优秀课堂实录

《2.3变量间的相关关系》教学设计

依兰县第三中学校 刘丹丹

一、教学目标

知识与技能：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系。

过程与方法：知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

情感态度与价值观：通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想。

二、教学重点和难点

重点：①利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；

②根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

难点：①作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；

②理解最小二乘法的思想。

三、教学方法与手段

教学方法：启发探究式

教学手段：多媒体辅助教学

四、教学过程

（一）问题提出

请同学们如实填写下表（在空格中打“√”

）

你的数学成绩

你的物理成绩

好

中

差

然后回答如下问题：①你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？②如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。对你来说，是这样吗？

学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）教师总结如下：

物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的，但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示：

因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少，但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。

（二）探究新知

1、概念形成

由老师总结得出相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系称为相关关系。让学生举一两个现实生活中的问题，问题所涉及的变量之间存在一定的相关关系，引导学生认识两个变量之间的关系可能是确定性关系（如：函数关系）或非确定性关系。

注：相关关系与函数关系的异同点

相同点：两者均是指两个变量的关系。

不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系；

②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。

2、探究线性相关关系

例题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：

人体的脂肪百分比和年龄

年龄

脂肪

年龄

脂肪

23 9．5 53 29．6 27 17．8 54 30．2 39 21．2 56 31．4 41 25．9 57 30．8 45 27．5 58 33．5 49 26．3 60 35．2 50 28．2 61 34．6 问题：根据上述数据，你认为人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

散点图（将样本点描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形）是研究相关关系最常用的一种统计图，注意点散布的位置：

①如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，称为正相关。

②如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，称为负相关。

③散点图的点如果几乎没什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系。

注意引导学生从散点图上可得如下规律：

①如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；

②如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；

③如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。

3、求回归方程的方法

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。回归直线的方程简称为回归方程。

求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离和最小”，具体计算回归方程的斜率与截距的一般公式如下：

n(xix)(yiy)

ˆi1b

n2

(xx)ii1

ˆ

ˆybxanxyii1ninxynx2xi12i

ˆ是回归方程的斜率，aˆaˆ是截距，即回归方程为yˆbxˆ。

其中，b以上公式的推导较复杂，故不作推导，但它的原理较为简单：即各点到该直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法。

（三）巩固练习

1、下列哪些变量不是相关关系（ ）

A、粮食的产量与施肥量

B、商品的销售收入和广告支出经费

C、人的年龄和身高 D、正方形的边长和面积

2、下面哪些变量是相关关系（

）

A、出租车费与行驶的里程

B、身高与体重

C、房屋面积与房屋价格

D、铁的大小与质量

3、有关线性回归的说法，不正确的是（

）

A、相关关系的两个变量不是因果关系；

B、散点图能直观地反映数据的相关程度；

C、回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系；

D、任一组数据都有回归方程。

4、三点(3,0)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程是（

）

ˆ5.751.75x

B、yˆ1.755.75x

A、yˆ1.755.75x D、yˆ5.751.75x

C、yˆbxa过定点________.

5、线性回归方程y（四）课堂小结

1. 理解变量间的相关关系；

2. 利用散点图判断两个变量间的相关关系（正相关，负相关）；

3. 了解最小二乘法的思想，根据线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。

（五）课后作业

94页习题2.3A组第2题

板书设计：

§2.3 变量间的相关关系

1.

相关关系：自变量、因变量

2.

散点图：判断两个变量间的相关关系

3.

正相关，负相关

4.

线性相关

ˆaˆbxˆ

5.

回归方程：y