2.1.2 系统抽样优秀教学设计内容

2．2 分层抽样与系统抽样

整体设计

教学分析

教科书通过实例介绍了分层抽样与系统抽样及其步骤．分层抽样是高考的热点，其抽样过程中，在每一层常用简单随机抽样和系统抽样，因此建议改变教科书的顺序，先学习系统抽样，再学习分层抽样．来源：ziyuanku.comziyuanku.com值得注意的是在教学过程中，教师适当介绍当不是整数时，应如何实施系统抽样．

三维目标

1．理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣．

2．理解分层抽样，掌握其实施步骤，培养学生发现问题和解决问题的能力．

3．掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系，提高学生的总结和归纳能力，让学生领会到客观世界的普遍联系性．

重点难点

教学重点：实施系统抽样的步骤，分层抽样及其步骤．

教学难点：当不是整数时，如何实施系统抽样，确定各层的入样个体数目，以及根据实际情况选择正确的抽样方法．

课时安排

2课时

NnNn教学过程

第1课时

系统抽样

导入新课

思路1.上一节我们学习了简单随机抽样，那么简单随机抽样的特点是什么？简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，当总体中的个体较少时，常采用简单随机抽样．但是如果总体中的个体较多时，怎样抽取样本呢？教师点出课题：系统抽样．思路2.某中学有5 000名学生，打算抽取200名学生，调查他们对奥运会的看法，采用简单随机抽样时，无论是抽签法还是随机数法，实施过程很复杂，需要大量的人力和物力，那么有没有更为方便可行的抽样方法呢？这就是今天我们要学习的内容：系统抽样．

推进新课

新知探究

提出问题

1．某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，你能否设计其他抽取样本的方法？

2．请归纳系统抽样的定义和步骤．

3．系统抽样有什么特点？

讨论结果：

1．可以将这500名学生随机编号1～500，分成50组，每组10人，第1组编号是1～10，第二组编号是11～20，依次分下去，然后用简单随机抽样在第1组抽取1人，比如号码是2，然后每隔10个号抽取一个，得到2,12,22，…，492. 这样就得到一个容量为50的样本．

这种抽样方法称为系统抽样．

2．一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫作系统抽样．

其步骤是：

(1)采用随机抽样的方法将总体中的N个个体编号；

(2)将整体按编号进行分段，确定分段间隔k(k∈N)；

资源库

(3)在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l(l∈N，l≤k)；

(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加上k得到第3个个体编号(l＋2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．

说明：从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决，从而把复杂问题简单化，体现了数学转化思想．

3．系统抽样的特点是：

(1)当总体容量N较大时，采用系统抽样．

(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，这时间隔一般为k＝. (3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号．

应用示例

思路1 例1 某工厂平均每天生产某种机器零件大约10 000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况．假设一天的生产时间中生产机器零件的件数是均匀的，请你设计一个调查方案．

解：我们可以采用系统抽样，按照下面的步骤设计方案．

10 000第一步

按生产时间将一天分为50个时间段，也就是说，每个时间段大约生产＝50200件产品．这时，抽样距就是200. 第二步

将一天中生产出的机器零件按生产时间进行顺序编号．比如，第一个生产出的零件就是0号，第二个生产出的零件就是1号等．

第三步

从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法，抽取一件产品，比如是k号零件．

第四步

顺序地抽取编号分别为下面数字的零件：k＋200，k＋400，k＋600，…，k＋9 800.这样总共就抽取了50个样本．

点评：系统抽样与简单随机抽样一样，每个个体被抽到的概率都相等，从而说明系统抽样是等概率抽样，它是公平的．系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的，将总体均分后对每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样. 变式训练

1．下列抽样不是系统抽样的是(

)．

A．从标有1～15号的15个小球中任选3个作为样本，按从小号到大号排序，随机确定起点i，以后为i＋5, i＋10(超过15则从1再数起)号入样

B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验

C．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈

解析：C中，因为事先不知道总体，抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样，所以不是系统抽样．

答案：C2．某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2，…，295，为了了解学生的学习情况，要按1∶5的比例抽取一个样本，请你用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程．

分析：按1∶5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第1段的编号．

解：抽样过程是：

(1)按照1∶5的比例，应该抽取的样本容量为295÷5＝59，我们把259名同学分成59组，每组5人，第一组是编号为1～5的5名学生，第2组是编号为6～10的5名学生，依次下去，第59组是编号为291～295的5名学生；(2)采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一名学生，不妨设编号为WWW.ziyuanku.co来源：ziyuanku.coziyuanku.com来源：ziyuanku.comNn

l(l≤5)；

(3)按照一定的规则抽取样本，抽取的学生编号为l＋5k(k＝0,1，2，…，58)，得到59个个体作为样本，如当k＝3时的样本编号为3,8，13，…，288,293. 3．为了了解参加某种知识竞赛的1 000名学生的成绩，应采用什么抽样方法较恰当？简述抽样过程．

解：适宜选用系统抽样，抽样过程如下：

(1)随机地将这1 000名学生编号为1,2,3，…，1 000；

(2)将总体按编号顺序均分成50部分，每部分包括20个个体；

(3)在第一部分的个体编号1,2,3，…，20中，利用简单随机抽样抽取一个号码，比如18；

(4)以18为起始号码，每间隔20抽取一个号码，这样得到一个容量为50的样本：18,38,58，…，978,998. 例2 某装订厂平均每小时大约装订图书362册，要求检验员每小时抽取40册图书，检查其质量状况．请你设计一个调查方案．

解：我们可以采用系统抽样，按照下面的步骤设计方案．

362第一步

把这些图书分成40个小组，由于的商是9，余数是2，所以每个组有9册40书，还剩2册书．这时，抽样距就是9. 第二步

先用简单随机抽样的方法从这些书中抽取2册书，不进行检验．

第三步

将剩下的书进行编号，编号分别为0,1，…，359. 第四步

从第一组(编号分别为0,1，…，8)的书中按照简单随机抽样的方法，抽取1册书，比如说，其编号为k. 第五步

顺序地抽取编号分别为下面数字的书：k＋9，k＋18，k＋27，…，k＋39×9.这样总共抽取了40个样本．

点评：如果遇到不是整数的情况，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量整除. 变式训练

1．某校高中三年级有1 242名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶40的比例抽取一个样本，那么(

)．

A．剔除指定的4名学生

B．剔除指定的2名学生

C．随机剔除4名学生

D．随机剔除2名学生

1 242解析：为了保证每名学生被抽到的可能性相等，必须是随机剔除学生，由于的余40数是2，所以要剔除2名学生．故选D. 答案：D 2．从2 008个编号中抽取20个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为(

)．

A．99

B．99.5

C．100

D．100.5 答案：C 3．为了了解参加某种知识竞赛的1 003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为50的样本．

1 003分析：由于不是整数，所以先从总体中随机剔除3个个体．

50解：(1)随机地将这1 003个个体编号为1,2,3，…，1003. (2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1 000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1,2,3，…，1000. 1 000(3)确定分段间隔.＝20，则将这1 000名学生分成50组，每组20人，第1组编50号是1,2,3，…，20；第2组编号是21,22,23，…，40；依次下去，第50组编号是981,982，…，1000. Nn

(4)在第1组中用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤20)．

(5)按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为l＋20k (k＝0,1,2，…，19)，得到50个个体作为样本，如当k＝2时的样本编号为2,22，42，…，982. 思路2 例

从已编号为1～50的50枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，若采用系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是(

)．

A．5,10,15,20,25

B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5 D．2,4,6,16,32 解析：用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为k，k＋d，k＋2d，k＋3d，k＋4d，50其中d＝＝10，k是1到10中用简单随机抽样方法得到的数，因此只有选项B满足要求．

5答案：B 点评：系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来，从第2个号码开始，每一个号码与前一个号码的差都等于同一个常数，这个常数就是分段间隔. 变式训练

某小礼堂有25排座位，每排20个座位，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是________抽样方法．

答案：系统

知能训练

1．从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学竞赛，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号不可能是(

)．

A．1,2,3,4,5

B．5,15,25,35,45 C．2,12,22,32,42

D．9,19,29,39,49 答案：A 2．采用系统抽样从个体数为83的总体中抽取一个样本容量为10的样本，那么每个个体入样的可能性为(

)．

10111A.

B.

C.

D.

83831080答案：A 3．某单位的在岗工人为624人，为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间，决定抽取10%的工人调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽样？

答案：先随机剔除4人，再按系统抽样抽取样本．

4．某学校有学生3 000人，现在要抽取100人组成夏令营，怎样抽取样本？

分析：由于总体人数较多，且无差异，所以按系统抽样的步骤来进行抽样．

解：按系统抽样抽取样本，其步骤是：

(1)将3 000名学生随机编号1,2，…，3000；

3 000(2)确定分段间隔k＝＝30，将整体按编号进行分100组，第1组编号是1～30，100第2组编号是31～60，依次分下去，第100组编号是2971～3000；

(3)在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号l(l∈N,0≤l≤30)；

(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号l加上间隔30得到第2个个体编号l＋30，再加上30，得到第3个个体编号l＋60，这样继续下去，直到获取整个样本．比如l＝15，则抽取的编号为15,45,75，…，2985. 这些号码对应的学生组成样本．

拓展提升

将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下000,001,002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号为000,002，…，019，如果在第一组随机抽取的一个号码为015，则抽取的第40个号码为__________．

1 000＝5020，则在第i组中抽取的号码为015＋20(i－1)．故所抽取的第40个号码为015＋(40－1)×20＝795. 答案：795

课堂小结

通过本节的学习，应明确什么是系统抽样，系统抽样的适用范围，如何用系统抽样获取样本．

作业

习题1—2 4. 备课资料

系统抽样中如何对总体中的每个个体进行合理分段？

这个问题的难点是不会对总体中的每个个体进行合理分段，其突破方法是结合实例操作体会．系统抽样操作的要领是先将个体数较多的总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需样本．由于抽样的间隔相等，因此系统抽样又称为等距抽样(或叫机械抽样)，所以系统抽样中必须对总体中的每个个体进行合理分段．

若从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，用系统抽样时，应先将总体中的各个个体编号，再确定分段间隔k，以便对总体编号进行分段．

NN100当是整数时，取k＝为分段间隔即可，如N＝100，n＝20，则分段间隔k＝＝5，nn20也就是将100个个体平均分为5段(组)；

解析：利用系统抽样抽取样本，在第一组抽取号码为l＝015，分段间隔为k＝当不是整数时，应先从总体中随机剔除一些个体，使剩余个体数N′能被n整除，这时分段间隔k＝NnN′，如N＝101，n＝20，则应先用简单随机抽样从总体中剔除1个个体，使n100剩余的总体容量(即100)能被20整除，从而得出分段间隔k＝＝5，也就是说，只需将20100个个体平均分为5段(组)．

一般地，用简单随机抽样的方法从总体中剔除部分个体，其个数为总体中的个体数除以总体容量样本容量所得的余数．分段间隔＝，所以分段间隔×样本容量＝总体容量，每段仅样本容量抽一个个体．

上述过程中，总体中的每个个体被取出(或被剔除)的可能性相等，也就是每个个体不被选取(或不被剔除)的可能性也相等，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然都相等，这说明使用系统抽样法抽取样本的过程是公平的．

(设计者：王志国)