2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教学设计(教案)

§2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

【课标定向】

学习目标

1．掌握平面向量的正交分解及坐标表示；2 ．会用坐标表示平面向量的加、减、数乘运算．

提示与建议

学习本节关键是理解平面向量的坐标表示，并理解向量的坐标与向量起终点的位置无关．向量的加法、减法及实数与向量的积都可以用坐标来进行运算，使得向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算．

【互动探究】

自主探究

1 ．向量可以平移，在平移的过程中，向量的起点、终点坐标都在发生变化，那么向量的坐标呢？

2 .若M ( 3，-2) N（-5，-1），且MP＝12MN, 求P点的坐标. 3.若A（0.1），B (1,2)

C (3,4),则AB-2BC

=＿. 4.已知a=（2,1），b（4，6），求2a，3b，2a+3b。

剖例解析

★

讲解点一：平面向量的正交分解、向量的坐标表示

1 ．平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．它是向量坐标表示的理论基础．

2 ．向量的坐标表示

在直角坐标系中，分别取与x 轴拼轴方向相同的两个单位向量i, J 作为基底．对于平面上的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，了，使得a ＝xi＋yi.这样，平面内的任意向量a 都可以由，，了唯一确定，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a 的直角坐标，记作a = ( x，,y)其中x 叫做向量a 在x 轴上的坐标，丁叫做向量a 在y轴上的坐标。

3 ．说明：( l ）在直角坐标系中，如23 一8 图，点A 的位置被向量OA唯一确定．设点A 的坐标为(x，y)，容易看出成OA＝xi＋yj＝( x，y）, 即向量OA的坐标也就是A 的坐标；反过来，点A的坐标也就是A相对于坐标点的位置向量OA的坐标。为了加以区分，在叙述中，常说点（x，y）或向量（x，y）. (2)两向量相等则它们对应的坐标相等；反之，若两向量的坐标相同，则两向量相等。

例题1. 在直线坐标x0y中，向量a、b、c方向与长度如图2.3-9所示，分别求它们的坐标。

【思维切入】本题考查向量的坐标的关系，利用任意角的三角函数的定义，若a=（a1，

a2），a的方向相对x轴正向的转角为，则有｛a1=aCOS.a2=aSin. 【解析】设a=（a1，a2），b=（b1，b2），c=（c21，c2），则a1=aCOS45°=2×2=2.a22=asin45°=2×2=2.b1=bcos120°=3×（-132）=-2，b2=b3cos120°=3×32=32。c1=cCOS（-30°）=4×322=3, c=cCOS（-30°）=4×（-122）=-2. 因此a=（2，2），b=（332，2）c=（23，-2）

【规律技巧总结】

①

由向量相等可转化出关于坐标的两个方程，注意体会如何由向量等式建立代数方程．②

平行四边形ABCD 中，要注意AB＝DC，AD＝BC，必须通过作图观察，明确向量的方向，而不能仅凭主观臆测．

精彩反思

1 ．本节的重点是理解平面向量的坐标表示及平面向量的坐标运算．要把握好平面向量的坐标运算法则，同时灵活运用向量的相等的坐标表示．

2 ．点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点的坐标无关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等；在向量平移的过程中，向量的坐标不会发生变化．

3 ．向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算代数化，为几何问题的解决又提供了一种方法．在处理习题时，这样许多几何问题的解决，就可以转化为我们熟知的数量运算．

自我评测

1.已知平面向量a=（1，1），b=（1，-1），则向量12a-32b=（）

A （一2 ，一1 ) B （一2 , 1 ) C （一1 , O ) D （一1 , 2 ) 2 ．已知三个力F＝( 3 , 4 )F12＝( 2 ，一5 ) ，F＝(x，y)的合力3F＋F＋＝则12F30F的坐标为( ) 3A ( 3 , 1 ) B （一5 , 1 ) C ( 5 ，一1 ) D （一5 ，一1 ) 3 ( 2009 ·

广东卷·

文3 题）已知平面向量a = ( x , 1 ) b＝（-x，x2) ，则向量a ＋b（) A 平行于x 轴B 平行于第一、三象限的角平分线C 平行于了轴D 平行于第二、四象限的角平分线

4 ．已知助BC 的两个顶点A ( 3 , 7 ) , B （一2 , 5 ) ，若AC 的中点在x轴上，BC 的中点在y轴上，则顶点C 的坐标为（) A ( 2 ，一7 ) B （一7 , 2 ) C ( 2 ，一3 ) D （一2 ，一7 ) 5 ．已知A（2 , 3 ) ，B（2 , 1 ) , a = (x2-3 ，-4 , X+ 3 ) ，且a ＝-AB，则x=＿. 6 ( 2009 ·

广东卷·

理10 题）若平面向量a , b 满足ab=1，a+b平行于x轴，b = ( 2 ，一l ) ，则a =＿

【拓展迁移】

思维提升

可以用一个有序实数对（a1，a2）表示．平面向量又称为二维向量．在学习空间向量时，给定空间一个基底，任一空间向量可用一个三元有序实数组（a1，a2，a3

）来表示．空间向量又称为三维向量．二维、三维向量都称为几何向量．n 元有序实数组（a1，a2，…an）称为n 维向量，它是几何向量的推广．所有n 维向量的全体构成的集合，叫做n 向量空间，它的一个元素可看成n 维向量空间的一点7 ．已知四边形ABCD 是平行四边形，其顶点A 、B 、C 的坐标分别是A（一2 , 1 ）、B（一1 , 3 ）、C ( 3 , 4 ) ，求D 点的坐标.

8 ．用坐标法证明：AB＋BC＋CA＝0 .

视野拓展

向量概念的推广与应用

学***面向量以后我们知道，在平面内建立了坐标系后，坐标平面内的任一向量，都