复习参考题国家优质课一等奖

(建议用时：45分钟) 一、选择题

1.(2016·长沙模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“a＝

2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的(

) A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

依题意，由a＝2bcos C及正弦定理，得sin A＝2sin Bcos C，sin(B＋C)－2sin Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Bcos C＝sin(C－B)＝0，C＝B，△ABC是等腰三角形；反过来，由△ABC是等腰三角形不能得知C＝B，a＝2bcos C.因此，“a＝2bcos C”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，故

选A.

答案

A 2.(2015·郑州质量预测)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－3 c)sin A，则角B的大小为(

) A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

解析

由正弦定理可知(b－c)(b＋c)＝(a－3c)a，

∴b2－c2＝a2－3ac，即a2＋c2－b2＝3ac.

a2＋c2－b23ac3∵cos B＝＝＝2ac2ac2，

∴B＝30°. 答案

A 343.(2015·太原二模)在△ABC中，cos A＝5，cos B＝5，BC＝4，则AB＝(

) A.5

B.4

C.3

D.2 3443解析

∵cos A＝5，cos B＝5，∴sin A＝5，sin B＝5，∴cos(A＋B)＝cos Acos BπBC－sin Asin B＝0，∴A＋B＝C＝2，∴AB＝sin A＝5.故选A. 答案

A 54.(2016·乌鲁木齐诊断)在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝5，则A＝(

)

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

解析

由题意及正弦定理，得sin Bcos A＝3sin Acos B，

525∴tan B＝3tan A，∴0°＜A，B＜90°，又cos C＝5，故sin C＝5，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，

tan A＋tan B∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即＝－2，将tan B＝3tan A代入，得1－tan Atan B4tan A1＝－2，∴tan A＝1或tan A＝－3，而0°＜A＜90°，则A＝45°，1－3tan2A故选B.

答案

B 5.(2016·洛阳统考)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边长，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝(

) 1A.2

B.1

2C.2

3D.2

π解析

由A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，得到B＝3，

1∴cos B＝2，又a＝1，b＝3，

根据余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac·cos B，

即c2－c－2＝0，解得c＝2，c＝－1(舍去)，

3bc又sin B＝2，b＝3，根据正弦定理sin B＝sin C得

32×2csin Bsin C＝b＝＝1. 3答案

B 6.(2016·石家庄模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csin A＝3acos C，则sin A＋sin B的最大值是(

) A.1

B.2

C.3

D.3 解析

由csin A＝3acos C，得sin Csin A＝3sin Acos C，

又在△ABC中sin A≠0，所以sin C＝3cos C，tan C＝3，C∈(0，π)，

π所以C＝3.

π3π3所以sin A＋sin B＝sin A＋sin＋A＝2sin A＋2cos A＝3sinA＋，

63π2πA∈0，，所以当A＝3时，sin A＋sin B取得最大值3，故选C.

3答案

C 二、填空题

7.(2015·重庆卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线AD＝3，则AC＝________. 1解析

依题意知∠BDA＝C＋2∠BAC，

1232由正弦定理得＝sin B，∴sinC＋2∠BAC＝2，

sin ∠BDA∵C＋∠BAC＝180°－B＝60°，

1∴C＋2∠BAC＝45°，∴∠BAC＝30°，C＝30°.

从而AC＝2·ABcos 30°＝6.

答案

6 8.(2016·陕西八校联考)设△ABC的三边长分别为a，b，c，面积为S，且满足S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，则S的最大值为________. 解析

∵S＝a2－(b－c)2，b＋c＝8，

1∴2bcsin A＝2bc－(b2＋c2－a2)＝2bc－2bccos A，

即sin A＋4cos A＝4.

sin A＋4cos A＝4，8联立2解得sin A＝，

217sinA＋cosA＝1，144b＋c264＝，

∴S＝2bcsin A＝17bc≤17×217当且仅当b＝c＝4时取等号. 64答案

17

9.(2015·云南检测)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin A

＋2sin B＝2sin C，b＝3，则cos C的最小值等于________. 解析

由sin A＋2sin B＝2sin C可得a＋2b＝2c，

∵b＝3，∴a＋32＝2c.

a2＋b2－c2a2＋9－c2∴cos C＝2ab＝.

6aa＋322a＋9－2a＋3262a－22a＋61a＋a－22∴由c＝2，得cos C＝＝＝6a8a82≥6－2，

46∵当且仅当a＝a，即a＝6时，等号成立，

∴cos C≥答案

6－26－2.∴cos C的最小值为44. 6－24

三、解答题

10.(2016·烟台一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝3，b＝5，c＝7. (1)求角C的大小；

π(2)求sinB＋的值. 3a2＋b2－c232＋52－721解

(1)由余弦定理，得cos C＝2ab＝＝－2. 2×3×52π∵0＜C＜π，∴C＝3. bc(2)由正弦定理sin B＝sin C，得

2π5sin3bsin C53sin B＝c＝7＝14，

2π∵C＝3，∴B为锐角，

∴cos B＝1－sinB＝253211＝. 1－1414

πππ∴sinB＋＝sin Bcos 3＋cos Bsin 3

353111343＝14×2＋14×2＝7. 11.已知向量p＝(2sin x，3cos x)，q＝(－sin x，2sin x)，函数f(x)＝p·q. (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝23，且a>b，求a，b的值. 解

(1)f(x)＝－2sin2x＋23sin xcos x

＝－1＋cos 2x＋23sin xcos x

π＝3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin2x＋－1. 6πππ由2kπ－2≤2x＋6≤2kπ＋2，k∈Z，

ππ得kπ－3≤x≤kπ＋6，k∈Z，

ππ∴f(x)的单调增区间是kπ－，kπ＋(k∈Z). 36π(2)∵f(C)＝2sin(2C＋6)－1＝1，

π∴sin2C＋＝1，

6πππ∵C是三角形的内角，∴2C＋6＝2，即C＝6. a2＋b2－c23∴cos C＝2ab＝2，即a2＋b2＝7. 12将ab＝23代入可得a2＋2＝7，解得a2＝3或4. a∴a＝3或2，∴b＝2或3.∵a>b，∴a＝2，b＝3. 112.已知函数f(x)＝3sin xcos x－cos2x＋2. (1)求f(x)的最小正周期及对称轴方程；

A1(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f2＝2，bc＝6，求a

的最小值. 1解

(1)f(x)＝3sin xcos x－cos2x＋2

π31＝2sin 2x－2cos 2x＝sin2x－，

62π故最小正周期T＝2＝π. ππkππ令2x－6＝kπ＋2，得x＝2＋3(k∈Z). kππ故图象的对称轴方程为x＝2＋3(k∈Z). π1A(2)由f2＝sinA－＝2，

6πππ5ππ可知A－6＝6或A－6＝6，即A＝3或A＝π，

π又0＜A＜π，故A＝3. ∵bc＝6，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥bc＝6，当且仅当b＝c时等号成立，故a的最小值为6.