二次根式应用教案及板书设计

18.1.2

平行四边形的判定（三）

——三角形的中位线

旺苍县七一中学

胡琼芳

一、教学目标：

1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

4.能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．

二、重点、难点

1.重点：掌握和运用三角形中位线的性质．

2.难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．

三、教学过程

（一）情境引入

如图，A，B两点被池塘隔开，现在要测量出A，B两点间的距离，但又无法直接去测量，该怎么办呢？

A

（二）问题探究

活动一

C

C

B B1. 自学教材47页至48页，弄清楚中位线的定义

2.出示中位线的定义（引入课题）

- 1 -

活动二:探究三角形中位线的性质

1.让学生猜想DE与BC的关系

(1)剪一个三角形，记为△ABC.沿△ABC的中位线DE剪开，分成一个三角形和一个梯形，你能拼成一个怎样的四边形？

(2)你能用说理的方法来验证它们之间的这种关系吗？

2.验证

例1 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=1BC．

2

分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=1DF，所以DE∥BC且DE=1BC．

22（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）

方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，- 2 -

且DF=BC，因为DE=1DF，所以DE∥BC且DE=1BC．

223.让学生总结三角形中位线定理：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半

【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．

（2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．）

被三条中位线分割的三角形与原三角形的周长，面积有什么关系？

(三)练一练

1.如图：在△ABC中，DE是中位线，

（1）∠ADE=60º，则∠B=_____；

（2）若BC =8 cm，则DE=_____cm．

2.已知三角形三边长分别为6、8、10，连接各边中点所成三角形的周长为_____. ( 四)知识应用

已知：如图（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是

CD、DA的中点．

求证：四边形EFGH是平行四边形．

- 3 -

AB、BC、

分析：因为已知点E、F、G、H分别是线段的中点，可以设法应用三角形中位线性质找到四边形EFGH的边之间的关系．由于四边形的对角线可以把四边形分成两个三角形，所以添加辅助线，连接AC或BD，构造“三角形中位线”的基本图形后，此题便可得证．

证明：连结AC（图（2）），△DAG中，

∵

AH=HD，CG=GD，

∴

HG∥AC，HG=1AC（三角形中位线性质）．

同理2EF∥AC，EF=1AC．

2∴

HG∥EF，且HG=EF．

∴

四边形EFGH是平行四边形．

此题可得结论：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

(五)学以致用

1.已知：如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，F，

G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

2. (中考·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，- 4 -

F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是(

)

A．15°

B．20°

C．25°

D．30°

3. 如图，已知长方形ABCD中，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，下列结论成立的是(

)

A．线段EF的长逐渐增大

B．线段EF的长逐渐减小

C．线段EF的长不改变

D．线段EF的长先增大后减小

(六)．拓展延伸

已知：如下图，△ABC的周长为a，面积为S，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1各边中点△A2B2C2

…则

第1次连接所得△A1B1C1的周长=____，面积=____；

第2次连接所得△A2B2C2的周长=____，面积=_____；

第3次连接所得△A3B3C3的周长=____，面积=_____；

…

第n次连接所得△AnBnCn的周长=____，面积=_____．

A

- 5 -

A1

C2

C1

C3

B3

A2

A3

B2

B1

C

B

（七）课堂小结

这节课你有什么收获？

1. 三角形的中位线是三角形中重要的线段，它与三角形的中线不同. 2.三角形中位线定理是三角形的一个重要定理．

注意定理的条件、结论，结论有两个，具体应用时，可视具体情况选用其中一个关系或用两个关系．熟悉三角形中位线所在的图形结构，适当地构造三角形的中位线定理的条件是用好定理的关键．

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