2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示教案评析

人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节

§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教案

教学目标：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 授课类型：新授课

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λλ1e1+λ2e2

2使a=(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

1

(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

2.设置情璄:

光滑斜面上的木块所受重力可以分解为平行斜面使木块下滑的力和木块产生的垂直于斜面的压力。

一个向量也可以分解为两个互相垂直的向量的线性表达，这种情形叫做向量的正交分解。因此，在平面上，若选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来方便。

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得

1

axiyj…………○我们把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作

2

a(x,y)…………○其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐2式叫做向量的坐标表示.与标，○．a相等的向量的坐标．．．．．．．．也为．．(x,y). 特别地，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).

2

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OAa，则点A的位置由a唯一确定. 设OAxiyj，则向量OA的坐标(x,y)就是点A的坐标；反过来，点A的坐标(x,y)也就是向量OA的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算

（1）

若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j

即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)

（2）若a(x,y)和实数，则a(x,y). 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

三、讲解范例：

例1如图,分别用基底i、j，表示向量 a，

， db并求出他们的坐标。

c

例2

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB的坐标. 因为AB=OBOA=( x2，

y2)  (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)

3

所以ABx2x1,y2y1

即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

例3

已知a=(2，1)，

b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.

例4已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形ABCD.

变式：已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3，

4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形. 解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2， 2); 当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6); 当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0) 四、课堂练习：

1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且

MP1MN， 求P点的坐标

22．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ，

则AB2BC= .

4

3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ，

求证：四边形ABCD是梯形. 五、小结：

（1）平面向量的坐标表示；

（2）

平面向量的坐标运算。 六、课后作业：习题2.3 A组 1 3 思考：你能用坐标表示出两个共线向量之间的关系吗？七、板书设计（略）

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