复习参考题优质课一等奖

专题二: 三角函数与平面向量

福建省龙海第二中学：王进忠

高考方向：三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。

平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算。但同时，平面向量的工具性不容忽视。以向量的平行、垂直、所成角为载体，与三角、解析几何、不等式等知识点的综合是我们值得注意的方向。

关于三角向量命题方向：（1）三角函数、平面向量有关知识的运算；（2）三角函数的图像变换；（3）向量与三角的综合运用及解三角形。（4）与其它知识的结合，尤其是与解析几何的结合。

教学重点：1、三角函数的基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。

2、解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。

3、平面向量的考察侧重平面向量的数量积以及平面向量的平行、垂直关系的坐标运算。

教学难点：由于公式、定理较多，内在联系也较为复杂，学生的识记能力较差。

教学方法：讲授法与讨论法相结合。

教学过程：

一、

知识点的回顾

1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin yα＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

x

sin α2．同角三角函数的基本关系：(1)sin2

α＋cos2α＝1.(2)tan α＝cos α. kπ3．巧记六组诱导公式：对于“2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．

4、三角函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

y=sinx-4-7-32-52-2-3-2yy-21-1o3222532724y=cosxy--2-2-32x-4-72-5-321-1o2322527324xy=tanx-32--2o232x

三角函数的单调区间：ysinx的递增区间是2k，2k(kZ)，递减区间是2232k(kZ)，递减区间是(kZ)；ycosx的递增区间是2k，2k，2k222k，2k(kZ)，ytanx的递增区间是k，k(kZ)，

22函数yAsin(x)B（其中A0，0）最大值是AB，最小值是BA，周期是T2，频率是f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线2xk2(kZ)，凡是该图象与直线yB的交点都是该图象的对称中心

5、识记两种变换：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的向右(＜0＝平移||11倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或6、两角和与差的三角函数：

个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。

（1）和（差）角公式①sin()sincoscossin;

②cos()coscossinsin;③tan()（2）二倍角公式：①sin22sincos；

②cos2cos2sin22cos2112sin2；③tan2（3）经常使用的公式

①升（降）幂公式：sin21cos21cos21、cos2、sincossin2；

2222tan

1tan2tantan

1tantan②辅助角公式：asinbcosa2b2sin()（由a,b具体的值确定）；

③正切公式的变形：tantantan()(1tantan)三角函数式的化简

7、解三角形：（熟识两个定理）：

abc2R（2R是ABC外接圆直径）

Ⅰ．正、余弦定理⑴正弦定理sinAsinBsinCb2c2a2⑵余弦定理：abc2bccosA等三个；注：cosA等三个。

2bc222Ⅱ。几个公式: ⑴三角形面积公式：SABC⑵内切圆半径r=11ahabsinC22p(pa)(pb)(pc),(p1(abc))；

22SABC；外接圆直径abc2R=abc;

sinAsinBsinC⑶

在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC中，ABsinAsinB

8、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

9、重要定理、公式

（1）平面向量基本定理

（2）两个向量平行的充要条件符号语言：若a∥b，a≠0，则a=λb坐标语言为：设a=（x1,y1），b=(x2,y2)，则a∥b(x1,y1)=λ(x2,y2)，即x1x2，或x1y2-x2y1=0 yy21

（3）两个向量垂直的充要条件符号语言：a⊥ba·b=0 坐标语言：设a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则a⊥bx1x2+y1y2=0 二、例题的讲解

热点一

三角函数的图象

命题角度1

三角函数的图象变换

π【例1－1】

某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)ω>0，|φ|<在某一个周期内2的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：



2π3ππ

π

2

2

π5πx

36

0

5

0 Asin(ωx＋φ)

－5

(1)请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；

(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)5π，求θ的最小值. 图象的一个对称中心为，012解：略

热点二

三角函数的性质

命题角度1

三角函数性质

ππ【例2－1】已知函数f(x)＝4tan xsin－x·cosx－－3. 32ππ(1)求f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论f(x)在区间－，上的单调性. 44π解

(1)f(x)的定义域为{x|x≠2＋kπ，k∈Z}，

1ππ3f(x)＝4tan xcos xcosx－－3＝4sin xcosx－－3＝4sin xcos x＋sin x－3＝3322π2sin xcos x＋23sin2x－3＝sin 2x－3cos 2x＝2sin2x－. 32π所以f(x)的最小正周期T＝2＝π. ππππ5π(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 2321212π5πππππ－，. 设A＝－，，B＝x－＋kπ≤x≤，易知A∩B＝412＋kπ，k∈Z124124ππππππ所以当x∈－，时，f(x)在区间－，上单调递增，在区间－，－上单调递41241244减. 命题角度2

三角函数性质的应用

ππ【例2－2】把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)|φ|<的图象向左平移2个单位长度之后，所得图象2ππ关于直线x＝4对称，且f(0)

) 2π3ππ3πA.8

B.8

C.－8

D.－8

答案

C 热点三

三角函数图象与性质的综合应用

【例3】已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2ωx－3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f(x)的单调递增区间. π(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值. π2解

(1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋3(2sinωx－1)＝sin 2ωx－3cos 2ωx＝2sin2ωx－.由3ωx＋φ

0

ππππ最小正周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin2x－，由2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈3π5πZ，整理得kπ－12≤x≤kx＋12，k∈Z，

π5π，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间是kπ－，kπ＋1212π(2)将函数f(x)的图象向左平移6个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；7π11π所以g(x)＝2sin 2x＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋12或x＝kπ＋12(k∈Z)，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可.所11π59π以b的最小值为4π＋12＝12. 四、课堂练习：

创新设计的课时练习

五、课时总结：三角函数及平面向量的主要知识点要熟记。

六：课时作业：每日一练：第五周的三角函数与平面向量