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关键词：2.1.2 向量的几何表示优质课教学设计

正文

向量的几何表示

[提出问题] 问题1：在学习三角函数线时，我们学习了有向线段，试想有向线段应包含什么要素？

提示：起点、方向、长度．

问题2：对既有大小、又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？

提示：利用有向线段表示．

问题3：如何表示向量？

提示：有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小．

[导入新知] 1．有向线段

(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点，B为终点的有向线段记作AB . (2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．

2．向量的表示

(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．

(2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c…表示向量，书写时→→用→a，b，c…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB，CD. [化解疑难] 向量与有向线段的区别和联系

(1)区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的．

(2)联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段．

[例] (1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终

点，可以写出________个向量．

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.

(1)[解析] 由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC. [答案] 12 (2)[解] ①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

②由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C

位置可以确定，画出向量BC如图所示．

[类题通法] 用有向线段表示向量的方法

用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．

[活学活用] 中国象棋中规定：马走“日”字．如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量AA1或AA2表示马走了“一步”．试在图中画出马在B，C处走了“一步”的所有情况．

解：根据规则，画出符合要求的所有向量．

马在B处走了“一步”的情况如图(1)所示；

马在C处走了“一步”的情况如图(2)所示．

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2.1.2 向量的几何表示优质课教学设计