2.5.2 向量在物理中的应用举例板书设计及设计说明

2.5.2

向量在物理中的应用举例

[学习目标]

1.学会用向量方法解决某些简单的力学问题与其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．

[知识链接]

1．向量在物理中有哪些应用？

答

(1)物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等．

(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．

(3)动量mv是向量的数乘运算．

(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．

2．向量与力有什么相同点和不同点？

答

向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量起点平移到同一作用点上．

3．向量的运算与速度、加速度及位移有什么联系？

答

速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成，向量有丰富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．

[预习导引]

1．力与向量

力与前面学过的自由向量有区别．

(1)相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向．

(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．

2．向量方法在物理中的应用

(1)力、速度、加速度、位移都是向量．

(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成．

(3)动量mν是数乘向量．

(4)功即是力F与所产生位移s的数量积. 探究案

探究一

向量的线性运算在物理中的应用

例1

帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的

风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．

解

建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，

速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，

设帆船行驶的速度为v，

则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°) ＝(10,103)，向量v2＝(20,0)，

则帆船的行驶速度

v＝v1＋v2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，

所以|v|＝302＋1032＝203(km/h)．

1033因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，

303所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203 km/h. 练一练1

某人在静水中游泳，速度为43 km/h，水的流速为4 km/h，他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？

→→解

如图所示，设此人的实际速度为OB，水流速度为OA. →→→∵实际速度＝游速＋水速，∴游速为OB－OA＝AB，

→|OA|3→→→在Rt△AOB中，|AB|＝43，|OA|＝4，|OB|＝42，cos∠BAO＝＝

. 3→|AB

|故此人应沿与河岸夹角余弦值为3，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为42 km/h. 3探究二

向量的数量积在物理中的应用

例2

如图，质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．

(1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做的功；

(2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的代数和是多少？

(3)求物体所受合外力对物体所做的功，并指出它与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什么关系．

解

(1)木块共受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力F1，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos α＝20(J)．

支持力F1与位移方向垂直，不做功，即W1＝F1·s＝0.

重力G对物体所做的功为

WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．

(2)物体所受各力对物体做功的代数和为

W＝WF＋WN＋WG＝20＋0－19.6＝0.4(J)．

(3)物体所受合外力的大小为

|F合|＝|F|－|G|sin 30°＝0.2(N)．

∴合外力对物体所做的功为：

W＝F合·s＝0.2×2＝0.4(J)．

∴物体所受合外力对物体所做的功与物体所受各力对物体做功的代数和相等．

规律方法

解决力学有关问题，做好正确的受力分析是数学建模的基础．要认真体会用向量方法解决物理问题和解释物理现象的方法．

练一练2

已知两恒力F1＝(3,4)、F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，试求：

(1)F1、F2分别对质点所做的功；(2)F1，F2的合力F为质点所做的功．

→解

设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.AB＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．

→→(1)W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，W2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．

→→(2)W＝F·AB＝(F1＋F2)·AB＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(焦)．

当堂检测

1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为________ N. 答案

10 解析

设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|. ∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N. ∴每根绳子的拉力都为10 N. 2．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 答案

300 解析

W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos 60°＝300(J)．

3．一条河宽为8 000 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水

速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________分钟．

答案

30 解析

v实际＝v船＋v水＝v1＋v2

|v1|＝20，|v2|＝12，

∴|v|＝|v1|2－|v2|2

＝202－122＝16(km/h)．

8∴所需时间t＝＝0.5(小时)＝30(分钟)．

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