阅读与思考 概率与密码教学实录

高中数学人教A版必修3 第三章《阅读与思考

概率与密码》

武汉市第二十六中学 王瑛

教学目标

引导学生了解概率与密码的关系, 了解频率分析方法在密码破译过程中的应用;在实际问题中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性, 进一步理解概率的意义以及频率与概率的区别。了解数学与其他学科的关系, 体会数学的应用价值, 激发学习数学的兴趣和求知欲;通过学生亲历各种数学活动, 自主利用书籍以及网络等现代技术手段学习知识进而解决问题, 培养学生的自学能力和收集、

加工、

整理、利用信息的能力;通过交流、

合作、

展示, 培养学生的数学交流能力和团队合作意识。

重点难点

教学重点

在实际问题中体会概率与频率的关系，加深对概率知识的理解和掌握. 教学难点

在丰富多彩的数学项目活动中提高学生运用概率等数学知识解决实际问题的能力,学会应用统计、

实验等数学方法解决实际问题. 教学过程

环节 1 情境引入活动主题

用电影《赤壁》中桥段中的飞鸽传书引出本课课题--《概率与密码》。在军事、政治、经济等方面，文件的保密性很重要。如果文件泄密，那么可能会导致战役的失败，经济上的重大损失，甚至会导致国家的灭亡。为了保证安全，保密文件的传送经常用“密文”的方式进行

通过图片和视频介绍两种古老的密码：滚筒密码和凯撒密码。

设计意图

以学生喜闻乐见的形式引入本次数学项目活动, 能有效地抓住学生学习的兴奋点, 调动学习的积极性.明确本次数学项目活动的主题——概率. 环节2 详细讲解凯撒密码

教师播放一个视频短片,并展示问题1.在学生用自己的语言描述凯撒密码的设计方式时,教师关注学生是否已经理解设计原理,并进行适当的补充说明.

问题1 你能用自己的语言描述凯撒密码的设计方式吗? 它是将英文字母向前推移k位。以此字母替代的密表，如k=5，则密文字母与明文与如下对应关系。

练习1：这句战争年代的密文对应的明文是什么？

“Zh zloo vwduw wkh iljkw dw hohyhp r'forfn rq Zhgqhvgdb”

设计意图: 通过生动形象的视频引出这一站的主角———凯撒密码,引导学生用自己的语言描述凯撒密码的设计方式,从而让学生体会单字母替换型密码设计的原理,为后续破译密码作好准备. 问题2 撒密码的设计确实很精巧,但真的像凯撒自己宣传得那样无懈可击吗?聪明的你发现它有什么弱点吗?你有什么办法破解呢?介绍凯撒密码移位表。

教师呈现一个谍报人员破译密码的场景,让学生充当谍报人员,破解一个利用凯撒密码原理设计的简单密码.现场实践假如你截获了一个信息为LCEM,已知是一个潜入我方间谍的名字,请问这个间谍的真实姓名可能是什么? 学生破解密码,教师提问,由学生说出破解的方法.教师再追问,JACK是不是唯一可能的结果?目的是引导学生说出需要得到的25个破译结果,然后再选出符合逻辑的原文,由此穷举的破译方法就一目了然了。学生练习：解密文件

问题3 对凯撒密码进行了一个简单的改进:用一个按随机顺序排列的字母表来替代正常顺序的字母表.请问通过这种简单代换方法,共产生了多少种字母表? 教师提问,学生动笔计算分析,得出这种改进方案的字母表种数有26!之多,一个小改动带来大变化. 问题4破译者们也不甘示弱.你有什么办法能破解凯撒密码的升级版吗? 设计意图:这个问题学生没有知识储备和经验,无法直接回答.举例计算机键盘的设置，———英语具有统计特性.为了说明英语的统计特性,统计英文《I have a dream》中各字母出现的频数与频率,使学生感受到频率与频数、频率与概率之间的关系.师生活动: 教师补充英文具有统计特性的背景材料,并展示《I have a dream》文档.用我们掌握的概率知识，就可以破译这个密码。经过研究，人们发现，书面语言中的字母以基本固定的频率出现。比如，字母“e”平均出现的比例占所有字母的12％左右，“t”占9.7％左右，而“j”的出现远小于1％，等等。如果掌握了这个规律，再用上面的方法加密，通过对窃取的密文中字母的频率分析，就比较容易破译密文，得到明文。出现频率最高的字母，无论你在编译

中使用什么字母，它一般都表示“e”,出现频率次高的字母大概是“t”,等等。统计概率使用的前提---总体个数足够多。当第三方窃取的的是短短的一句话时，要找到这种对应关系是比较困难的；但如果第三方窃取的文件比较大，或者经常能窃取到一个地方的密文，经过一段时间的积累，就可以利用对字母的频率分析，得到字母与密码的对应关系，这种编译的密码就容易破译了。

在破解凯撒密码升进版的过程中,使用了概率中的哪个知识点呢? 由此点评核心概率内容:概率与频率的关系,频率的稳定值近似等于概率. 师生活动：教师讲解,让学生感受每个字母出现的相对预期频率与出现概率之间的关系,并了解凯撒密码的破译者们是如何利用概率武器击败对手的. 问题5、凯撒密码的拥护者们为了反破译绞尽脑汁,也用概率武器给予破译者以沉重一击.你知道他们是用什么概率武器来设计凯撒密码的升级版吗? 为了使密码设计得更难破译，人们发明了很多反破译的方法。利用随机序列就是一种极为重要的方法，其原理是：利用取值于1到26之间的整数值随机数序列，使每个字母出现在密文中的概率相等。一种理论上不可破译的密码是“（用后即销毁的）一次密码本”。

这个问题可以用上一个问题中给出的知识拓展来解决,凯撒密码的拥护者们也是用了概率武器(例如随机数表法设计凯撒密码)来进行反击,从而引发凯撒密码拥护者和破译者之间的

这个问题在《数学(必修3)》的课本阅读材料中有详细说明。用随机数序列来设计密码。学生完成。

明文中每个字母后移随机序列位得到密文，密文中每个字母出现的频率几乎相等。

环节3：课外知识补充，密码战。总结内容，学生发送弹幕。

环节4

收集一些和概率相关的密码问题,并分析其中使用的概率知识。