2.2.3 向量数乘运算及其几何意义教案1

《创新设计》图书

2．4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义

[学习目标]

1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直．

知识点一

平面向量数量积的定义

(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角．

(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. 知识点二

向量数量积的几何意义

1．投影的概念

如图所示：错误!＝a，错误!＝b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos θ. |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影．

2．数量积的几何意义：

a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积．

思考

|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影为________．

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答案

－

－1 解析

a在b方向上的投影|a|cos θ＝1×cos 120°＝－；

b在a方向上的投影|b|cos θ＝2×cos 120°＝－1. 知识点三

平面向量数量积的性质

根据向量数量积的定义，补充完整数量积的性质．

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角．

(1)当〈a，b〉＝0时，a·b＝|a||b|；

当〈a，b〉＝π时，a·b＝－|a||b|；

当〈a，b〉＝时，a·b＝0；

(2)a·a＝|a|2或|a|＝＝；

(3)cos θ＝；

(4)|a·b|≤|a||b|. (5)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；

(6)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；

(7)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 知识点四

向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

思考

某同学由实数乘法的三条性质：

①ab＝0⇒a＝0或b＝0；

②ab＝bc，b≠0⇒a＝c；

③(ab)c＝a(bc)；

类比得到向量数量积的三条结论：

①a·b＝0⇒a＝0或b＝0；

②a·b＝b·c，b≠0⇒a＝c；

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③(a·b)c＝a(b·c)，

这三条结论成立吗？请简要说明．

答案

①

不成立，因为任意垂直的两向量a与b都有a·b＝0. ②不成立，如图所示. 虽然a·b＝b·c，但a≠c. ③不成立，因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)，一般情况下不会成立．

题型一

求两向量的数量积

例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．

解

(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，a·b

＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20；若a与b反向，则θ＝180°，

∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°

＝4×5×＝10. 反思与感悟

求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0°，180°]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连结，而不能用“×”连结，也不能省去．

跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．

解

(2a＋3b)·(3a－2b) ＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2

＝6|a|2＋5a·b－6|b|2

＝6×42＋5×4×7·cos

120°－6×72

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＝－268. 题型二

求向量的模

例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为，求|a＋b|，|a－b|. 解

a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝. |a＋b|＝＝

＝

＝5. |a－b|＝＝

＝

＝5. 反思与感悟

此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．

跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：

(1)|a＋b|；

(2)|(a＋b)·(a－2b)|. 解

由已知a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝－4，

a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4. (1)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2

＝16＋2×(－4)＋4＝12，

∴|a＋b|＝2. (2)∵(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2

＝16－(－4)－2×4＝12，

∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12. 题型三

求向量的夹角

例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．

解

∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，

∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝. |a|＝|2m＋n|＝＝

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＝

＝，

|b|＝|2n－3m|＝

＝

＝

＝，

a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2

＝－6×1＋2×1＝－. 设a与b的夹角为θ，则

cos θ＝＝＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为. 反思与感悟

求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是[0，π]．

跟踪训练3 已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？

解

要想(ka－b)⊥(a＋2b)，

则需(ka－b)·(a＋2b)＝0，

即k|a|2＋(2k－1)a·b－2|b|2＝0，

∴52k＋(2k－1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，

解得k＝，即当k＝时，向量ka－b与a＋2b垂直．

平面向量数量积分配律的证明

例4 下面是证明分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c的过程，请你补充完整．

证明：当a＋b与向量c夹角为直角时，如图(1)所示，

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向量a＋b在向量c方向上的投影

|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝0；

向量a在向量c方向上的投影为

|a|cos〈a，c〉＝OA1，

向量b在c方向上的投影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，

易知OA1与OB1互为相反数，即OA1＋OB1＝0. 所以|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉＝|a＋b|cos〈a＋b，c〉．

两边乘以|c|得：

|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉＝|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉，

∴a·c＋b·c＝(a＋b)·c，即(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 当a＋b与向量c夹角为锐角时，

如图(2)所示，

向量a＋b在向量c方向上的投影为

|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝OC1；

向量a在向量c方向上的投影为

图(2) |a|cos〈a，c〉＝OA1，

向量b在c方向上的投影为|b|cos〈b，c〉＝OB1，

∵OC1＝OA1＋A1C1，A1C1＝OB1，

∴OC1＝OA1＋OB1，

∴|a＋b|cos〈a＋b，c〉＝|a|cos〈a，c〉＋|b|cos〈b，c〉．

两边同乘以|c|得：

|a＋b||c|cos〈a＋b，c〉＝|a||c|cos〈a，c〉＋|b||c|cos〈b，c〉，即(a＋b)·c

＝a·c＋b·c. 当a＋b与向量c夹角为钝角时，如图(3)所示，同理可证得(a＋b)·c

＝a·c＋b·c.

图(3)

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1．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是(

) A．|a|＝

B．|a·b|＝|a||b| C．λ(a·b)＝λa·b

D．|a·b|≤|a||b| 答案

B 解析

因为|a·b|＝||a|·|b|cos θ|(θ为向量a与b的夹角)＝|a|·|b|·|cos θ|，

当且仅当θ＝0或π 时，使|a·b|＝|a|·|b|，故B错．

2．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是(

) A．60°

B．30°

C．135°

D．45°

答案

C 解析

∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，

∴a·b＝－a2＝－1，

∴cos〈a，b〉＝＝＝－. 又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，

∴〈a，b〉＝135°. 3．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________. 答案

解析

a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝. 4．给出下列结论：

①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0. ⑤若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b. 其中正确结论的序号是________．

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答案

④⑤

解析

因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；

当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；

④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]

＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0. ⑤正确，|a＋b|＝|a－b|⇒(a＋b)2＝(a－b)2⇒a·b＝0⇒a⊥b.

1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．

2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．

3．我们把|a|cos θ可得：

|a|cos θ＝；|b|cos θ＝. 4．向量b在a上的投影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分．

θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角．由数量积的定义a·b＝|a||b|cos

一、选择题

1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于(

) A．－3

B．－2

C．2

D．－1 答案

D

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解析

a在b方向上的投影是

|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1. 2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于(

) A.

B．－

C．±

D．1 答案

A 解析

∵(3a＋2b)·(λa－b) ＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2

＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝. 3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于(

) A．0

B．2

C．4

D．8 答案

B 解析

|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2. 4．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是(

) A．[0，]

C．[，π]

答案

B 解析

因为Δ＝a2－4|a|·|b|cos θ(θ为向量a与b的夹角) 若方程有实根，则有Δ≥0即a2－4|a|·|b|cos θ≥0，

又|a|＝2|b|，

4|b|2－8|b|2cos θ≥0，

∴cos θ≤，又0≤θ≤π，

∴≤θ≤π.

5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为(

) A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

答案

C 解析

由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，

B．[，π]

D．[，π]

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设a与b的夹角为θ，

∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0. ∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°. 6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为(

) A．2

B．4

C．6

D．12 答案

C 解析

∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，

∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b

＝|a|2－2|a|－96＝－72. ∴|a|＝6. 二、填空题

7．已知向量a在向量b方向上的投影是，|b|＝3，则a·b的值为________．

答案

2 解析

a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝|b||a|cos〈a，b〉

＝3×＝2. 8．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．

答案

0 解析

b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2

＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________. 答案

120°

解析

∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2. 又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，

即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2. ∴cos〈a，b〉＝－，

∴〈a，b〉＝120°.

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10．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．

答案

[0,1]

解析

b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，

∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，

∴0≤|b|≤1. 三、解答题

11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：

(1)(2a＋b)·(2a－b)；(2)|4a－2b|. 解

(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2

＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0. (2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2

＝16a2－16a·b＋4b2

＝16×42－16×4×8×cos 60°＋4×82

＝256. ∴|4a－2b|＝16. 12．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．

解

由向量垂直得

，

即，

化简得，

∴cos〈a，b〉＝＝＝，

又∵〈a，b〉∈[0，π]，

∴a与b的夹角为. 13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．

解

(2a－b)·(a＋b)

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＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2

＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝. |a＋b|＝＝

＝＝1. ∴|2a－b|cos〈2a－b，a＋b〉

＝|2a－b|·

＝＝. ∴向量2a－b在向量a＋b方向上的投影为.