2.1.3 相等向量与共线向量教学评价实录

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相等向量与共线向量

重点：向量的概念、共线向量、向量的几何表示．

难点：向量的概念和共线向量．

新知初探

1.向量的物理背景与概念

既有_______，又有_______的量叫做向量．

想一想

向量与数量的区别是什么？

提示：(1)向量是不同于数量的一种新的量，数量只有大小没有方向,其大小可以用正数、负数或零来表示，它是一个代数量，可以进行各种代数运算，数量之间可以比较大小．

(2)向量是既有大小，又有方向的量，由于含有方向不能比较大小，因此“大于”，“小于”对向量来说是没有意义的，即向量不能比较大小．

2.向量的表示

(1)有向线段

____________的线段叫做有向线段，它包含三个要素：______、______、______．

→→线段AB的长度叫做有向线段AB的_______，记作|AB|. (2)向量的表示方法

①几何表示法：常用一条有向线段表示向量．

→符号表示：以___________、____________的有向线段，记作AB. (注意起点、终点顺序) →→→②用字母表示：向量可用字母a、b、c等表示(印刷时用黑体a、b、c，书写时用a、b、c)．

想一想

有向线段与向量有何区别和联系？

提示：

区别：从定义上看，向量有大小和方向两要素，而有向线段有起点、方向、长度三要素．因此这是两个不同的量，在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的．

联系：向量可以用有向线段表示，但这并不能说向量就是有向线段.

3.向量的有关概念

→→→(1)向量的长度(或称模)：向量AB的大小，也就是向量AB的长度(或称________)，记作|AB|. (2)零向量：______________的向量叫零向量，记为_________或0. (3)单位向量：长度为____________的向量．

(4)平行向量：①方向____________的非零向量叫平行向量,向量a与b平行,可记为______；②我们规定零向量与任一向量__________．

想一想

平行向量与平行线的区别是什么？

提示：根据定义可知当两个向量平行时，表示它们的有向线段可以在同一直线上，而两直线平行，则不可能在同一直线上．

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4.相等向量与共线向量

(1)相等向量：__________且__________的向量叫相等向量，若a与b相等，记作______．

(2)共线向量：任一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量就是____________．

想一想

平行向量、共线向量与相等向量的关系怎样？

提示：(1)平行向量也是共线向量，与有向线段的起点无关．

(2)要区别平行向量与平行直线的位置关系．

(3)将一向量按某一方向平移后，得到的向量与原向量是相等向量．

(4)相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量．

题型探究

题型一

向量的有关概念

例1

判断下列命题是否正确，不正确的说明理由：

(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；

(3)若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

(4)由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；

(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反；

(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．

题型二

向量的表示

例2

如图，以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，请写出以A为始点的不同的向量．

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题型三

相等向量与共线向量

→例3

如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝b，OC→＝c. ＝a，OB(1)与a的模相等的向量有多少个？

(2)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？

(3)与a共线的向量有哪些？

(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．

小结：注意两个向量相等必须满足大小相等，方向相同.向量的模是用向量的长度定义的，共线向量是用向量的方向定义的，而相等向量是用向量的方向和长度共同定义的，解决本题要弄清这三个概念的联系与区别．

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