2.1.2 向量的几何表示第二课时教学设计

共1课时

2.1.1 向量的物理背景与概…

高中数学 人教A版2003课标版

1教学目标

1 掌握平面向量的数量积及其几何意义及运算律，运用有关知识处理有关长度、角度和垂直的问题；

2．从学生熟悉的物理背景出发，激发学生的兴趣，培养学习迁移的能力；

3.培养学生分析问题，解决问题的能力

2学情分析

学生已经掌握力做功的物理背景，及向量定义和加法减法运算，在此基础上学习向量的数量积，比较自然。但是，对于高一的学生来说，正确区分向量的线性运算和数量积的区别，有一定的难度，另外向量夹角的取值也叫容易出错，在教学过程中应注意. 3重点难点

重点：平面向量的数量积定义

难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

4教学过程 4.1 第一学时 教学活动

活动1【导入】复习引入

1．平面向量的坐标运算

若

，

，则

，

，

若

，

，则

2．

∥ ( ¹ )当且仅当

3. 引入：向量有加法、减法运算，是否有乘法运算呢？

活动2【活动】设计问题，创造情景

问1：如图，一个物体在力

的作用下，在水平面

的位移为 ,那么力所做的功是多少？

（学生集体回答）力做的功：W = | |×| | q，q是

与

的夹角

问2：上诉问题涉及的物理量中，那些事矢量，哪些是标量？（集体回答）

问3：能否把“功”看成两个向量的一种运算结果呢？它的运算结果是不是向量呢？（引导作用）

活动3【讲授】知识呈现及实际演练

1.平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量

与

，它们的夹角是θ，则数量

叫

与

的数量积，记作

，即有 .其中，

是两个非零向量夹角

（强调向量数量积的书写，“

”不是乘号，不能省略，也不能写成“

”号）

问4：回忆向量夹角的定义. 已知非零向量

与

，作

＝

，

＝

，则∠ＡＯＢ＝θ叫

与

的夹角

（在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点）

说明：（1）当θ＝０时，

与

同向；

（2）当θ＝π时，

与

反向；

（3）当

时，

与

垂直，记

⊥

；

问5：向量夹角的范围是什么？（０≤θ≤π）

注：规定

与任何向量的数量积为0 问6×：两个向量的数量积与向量同实数积有什么区别（向量与数量的角度）

（举例：

；

）

问7：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

例1：在正三角形ABC中，边长为1 （1）求

(2)

2．“投影”的概念：作图

定义：

叫做向量

在

方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 | |；当q = 180°时投影为 -| | 问8：向量

在

方向上的投影是什么？

3．数量积的几何意义：

数量积

×

等于

的长度与

在

方向上投影

的乘积

4．探究：设

、

为两个非零向量 （1） ^ Û × = 0 (2)当

与

同向时，

× = | || |；当

与

反向时，

× = -| || | 特别的

× = | |2或

(3) | × | ≤ | || | 5.平面向量数量积的运算律(学生合作完成，教师点评) （1）

（2）

（3）

说明：（1）一般地，

（2）

·

＝

·

，

≠

＝

（3）有如下常用性质： 例2 已知| |=6，| |=4，a与b的夹角θ=60° （1）求

(2)求

（3）求

与

的夹角

变式: 已知| |=6，| |=4, =-72,求

与

的夹角. 例3：已知| |=3，| |=4，且

与

不共线，

为何值时，向量

与

垂直

活动4【活动】小结

问：你学到了什么？

（学生小结，派代表回答）

活动5【作业】布置作业

课本108页第3,7题

2.1.1 向量的物理背景与概念

课时设计

课堂实录

2.1.1 向量的物理背景与概念

1第一学时 教学活动

活动1【导入】复习引入

1．平面向量的坐标运算

若

，

，则

，

，

若

，

，则

2．

∥ ( ¹ )当且仅当

3. 引入：向量有加法、减法运算，是否有乘法运算呢？

活动2【活动】设计问题，创造情景

问1：如图，一个物体在力

的作用下，在水平面

的位移为 ,那么力所做的功是多少？

（学生集体回答）力做的功：W = | |×| | q，q是

与

的夹角

问2：上诉问题涉及的物理量中，那些事矢量，哪些是标量？（集体回答）

问3：能否把“功”看成两个向量的一种运算结果呢？它的运算结果是不是向量呢？（引导作用）

活动3【讲授】知识呈现及实际演练

1.平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量

与

，它们的夹角是θ，则数量

叫

与

的数量积，记作

，即有 .其中，

是两个非零向量夹角

（强调向量数量积的书写，“

”不是乘号，不能省略，也不能写成“

”号）

问4：回忆向量夹角的定义. 已知非零向量

与

，作

＝

，

＝

，则∠ＡＯＢ＝θ叫

与

的夹角

（在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点）

说明：（1）当θ＝０时，

与

同向；

（2）当θ＝π时，

与

反向；

（3）当

时，

与

垂直，记

⊥

；

问5：向量夹角的范围是什么？（０≤θ≤π）

注：规定

与任何向量的数量积为0 问6×：两个向量的数量积与向量同实数积有什么区别（向量与数量的角度）

（举例：

；

）

问7：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？

例1：在正三角形ABC中，边长为1 （1）求

(2) 2．“投影”的概念：作图

定义：

叫做向量

在

方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 | |；当q = 180°时投影为 -| | 问8：向量

在

方向上的投影是什么？

3．数量积的几何意义：

数量积

×

等于

的长度与

在

方向上投影

的乘积

4．探究：设

、

为两个非零向量 （1） ^ Û × = 0 (2)当

与

同向时，

× = | || |；当

与

反向时，

× = -| || | 特别的

× = | |2或

(3) | × | ≤ | || | 5.平面向量数量积的运算律(学生合作完成，教师点评) （1）

（2）

（3）

说明：（1）一般地，

（2）

·

＝

·

，

≠

＝

（3）有如下常用性质： 例2 已知| |=6，| |=4，a与b的夹角θ=60° （1）求

(2)求

（3）求

与

的夹角

变式: 已知| |=6，| |=4, =-72,求

与

的夹角. 例3：已知| |=3，| |=4，且

与

不共线，

为何值时，向量

与

垂直

活动4【活动】小结

问：你学到了什么？

（学生小结，派代表回答）

活动5【作业】布置作业

课本108页第3,7题