小结精品学案

一类平面向量问题的解法探究

南安侨光中学

苏飞文

一、教学目标：通过本节的学习，使学***面向量问题的解法，主要是坐标法和几何法。让学生更深刻理解向量相关的概念、基本性质和向量间的运算，让学生理解向量真正内涵和应用，熟练掌握把几何转化为函数问题的方法，很好沟通几何与三角函数的关系。

二、教学重点：理解并能灵活运用平面向量相关的概念和运算运算，用坐标法和几何法解决一类向量问题。

三、教学难点：选择适当的方法，将几何问题与向量问题转化，几何问题和向量问题转化为函数问题，并用坐标法和几何法加以解决。

四、教学方法：讲授法、师生合作探究法、学生自主探究法

五、教学过程：

（一）、情境引入：

向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，能把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。

（二）、知识回顾：

1、平面向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线，两直线平行，线段相等，求点的坐标或向量的坐标等问题．而准确理解向量相关的概念，用基底或用坐标表示向量是线性运算的基础．

2.平面向量数量积及其应用数量积的运算是本章的核心，由于数量积的运算及其性质涵盖向量的长度、角度．因此它的应用也最为广泛．利用数量积可以求长度，也可判断直线与直线之间的关系(相交的夹角以及垂直)，还可以通过向量的坐标运算将代数中的有关函数知识融合在一起，当然更为重要的还在于向量与解析几何的交汇．

3、平行四边形的性质：对角线的平方和等于两个邻边平方和的两倍；

4、向量三角不等式abab当且仅当a,b方向相反时取等号。

（三）、讲授新课：

师生共研：例1、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）

在平面上,AB1AB2,OB1OB21,APAB1AB2.若OP围是（

）

1,则OA的取值范25A．0,2

解法1：坐标法

57B．2,2

5C．2,2

7D．2,2

AB1AB2

A为坐标原点，AB1为x轴，AB2为y轴

设B（）,B2(0,b),O(x,y)则

1a,0

APAB1AB2(a,b)，即P（a,b）由OB1OB21得

2（xa）y21,x2(yb)21

2（xa）1y20,

(yb)21x20

x2y22

112（xa）(yb)2

，得2411y21x2

4722yx即4

又OP7所以综上可知2OA2

解法2：几何法：

如图建立直角坐标系，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，垂直于OA为y轴

因为OB1OB21，所以B1，B2在xy1的圆上，

由于OP2211AB1AB2，APAB1AB2，

22知，点P在xy的圆内，又24

令点P在x轴上，

当P在O点时OA最大2，当P在通过几何画板来演示：

x1点时OA最小7。22

（四）、课堂反馈：

学习自主探究：

例2、【2017浙江，15】已知向量a,b满足a1,b2，则abab的最小值是________，最大值是_______．

请学生探究本题的解法，然后教师归纳总结。

法1.运用平面向量基本运算性质解题

设向量a,b的夹角为，则

ababa2abb54cos

ab2222aba2222abb54cos

2abab54cos54cos

令y54cos54cos，则

y21022516cos2，y16，202

教师分析：本题通过设入向量a,b的夹角，结合模长公式，

解得abab54cos54cos，再利用三角有界性求出最大、最小值，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．

法2.运用坐标法和三角代换解题

令a(1,0),b2cos,2sin则

ab(12cos,2sin)ab(12cos,2sin)

abab54cos54cos

接下来同解法1 法3.运用平行四边形的性质及不等式性质解题

应用重要知识：

1、平行四边形的性质：对角线的平方和等于两个邻边平方和的两倍；

a2b22、不等式性质：ab2(ab)22(a2b2)0(ab)2

2设OA＝a,OB＝b，则OCab,BAab

由平行四边形的性质得

2222OCAB2OAOB2ab10

22abab2abab22225

又abab2OMBM2OB4

abab2OMAM2OA2由于要恒成立，所以abab4法4.应用向量三角不等式解题

应用重要知识：

向量三角不等式

abab当且仅当a,b方向相反时取等号

由向量三角不等式得

abab（ab）（ab）2b4

又平行四边形的性质：对角线的平方和等于两个邻边平方和的两倍

同解法3一样得到最大值

法5：运用圆的参数方程和三角函数性质解题

xab,yab,

x254cos,x1,3

y254cos,y1,3

x2y210

x10cos,y10sin

xy25sin4当4时取到最大值25

当的终边在OA或OB时取最小值10（五）、课后练习：

311041010

1、已知向量a，b的夹角为60°，a2,b1，则a2b=_________. 2.在平面直角坐标系中,O为原点,A1,0,B(0,3),C(3,0),动点D满足CD=1，则OAOBOD的最大值是_________. （六）、课后反思：

通过本节的学习，学生学***面向量问题的解法，主要是坐标法和几何法。能深刻认识到向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，是数形结合的桥梁，特别向量的坐标能很好把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题。通过本节的学习，让学生更深刻理解向量相关的概念、基本性质和向量间的运算，让学生进一步理解向量是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，是沟通代数、几何、三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，其教育价值主要体现在有助于学生体会数学与实际生活的联系，感受数学在解决实际问题中的作用，有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验、领悟数学的创造性和普遍联系性，有助于学生发展智力，提高运算、推理能力。