阅读与思考 割圆术板书设计

一、教学背景分析

（一）教学内容解析

本节课虽非普通高中课程标准实验教科书的内容，但人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容以刘徽的“割圆术”为载体，让学生通过了解“割圆术”的基本特点及其中蕴含的递推思想与迭代算法，体会“割圆术”是几何算法阶段计算圆周率的既有效又科学的方法，又让学生感受到计算工具的不断发展，为圆周率的计算乃至整个数学学科的发展带来前所未有的突破。

在数学史上，简洁而精确的圆周率求法，曾经是数学家们不懈追求的目标，在不同历史阶段，各个国家的数学家们提出了形形色色的圆周率近似值求法，如经验实测方法，蒙特卡洛方法，刘徽割圆术，阿基米德割圆术，级数逼近等等。每一次方法的改进，都在严密性与精确性的角度上体现了重要的数学思想，因此在高中阶段，让学生了解和学习各种不同的圆周率近似值的求法，并对这些方法进行比较与分析，是十分必要的。 （二）学生学情分析

在深化课改的背景下，现阶段的学生并没有学过如何求圆周率，只有人教A版必修3中的第一章《算法结构》的“阅读与思考”内容是以刘徽的“割圆术”为载体，通过算法知识来介绍求圆周率，

但是，必修3中算法的相关知识，也没有学过，在算法的建构方面存在一定的困难，同时对圆周率的认知基本上停留在能背出小数点后多少位，却不知圆周率是如何得到的。

学生通过课前资料收集和阅读思考，对历史上几种不同的圆周率求法进行了初步的了解，同时以教材中的“阅读与思考”内容，同时也是历史上完备性最好，且具有算法思想的刘徽的“割圆术”作为重点介绍内容，让学生领悟刘徽的割圆术中所蕴含的递推思想及迭代算法。对于刘徽割圆术的掌握，对学生来说是一个

挑战，圆内接正多边形的面积公式的递推关系的推导对学生来说是十分困难的．根据教学内容解析和学情分析，我确定本节课的教学重点和难点如下：

重点：在学生通过课前阅读与课外查阅与研究所了解的有关求圆周率的方法的基础上，对各种不同的方法进行简要的介绍与对比，同时深入探究刘徽割圆术的思想方法，获得面积递推公式，同时体会其中蕴含的递推思想与迭代算法．

难点：割圆术中“内外夹逼”的极限思想与算法实现过程中递推关系的建立．

二、教学目标设置

依据课程标准，基于上述分析，我确定本节课的教学目标如下：

（一）让学生经历从直观感受到随机模拟，最后到严格推理，然后以计算机实现近似值求解的过程，既对相关数学史有所了解，同时又让学生体会了求解圆周率的历史实质是运算工具的发展史．

（二）理解割圆术对于圆周率估计的完备性与精确性，以及求解过程中所蕴含的递推思想，体会计算机程序迭代算法和割圆术的应用价值．

（三）了解求解圆周率的历史，感受数学的文化价值．

三、教学策略分析

本节课在教学材料的组织上选择了让学生课前探究求解圆周率的方法，自主学习刘徽的割圆术，并以小组交流的形式汇报阅读成果. 应用问题探究式教学方式，对课本介绍的刘徽的割圆术进行再思考，让学生自主探究如何方便地计算圆内接正多边形的面积．借助Ｅxcel软件的迭代功能实现算法，完成对圆周率的近似值的初步估计. 因此本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，让学生体会以阅读学习所获得的知识为基础，在经过再思考后，获得对问题的深刻理解的过程；同时采用公式的理论推导和信息技术相结合的手段，让学生体会到中国古代数学中所蕴含的算法思想，给学生提供了一次动手实践、还原历史的经历．

四、教学过程

为了达到以上教学目标，在具体教学中，我把这节课分为以下五个阶段：

呈现背景

探索方法

完善方法

实现算法

归纳小结

分别从数学史的发展角度，与方法的完备性角度来逐步递进探索并对比不同方法的优劣。

下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明.

（一）呈现背景

【学生活动】学生课前查阅圆周率的相关知识，自主学习刘徽的割圆术，并相互交流对圆周率的认识。（请看视频）

【教师总结】那圆周率的值到底是多少呢？又是如何得到的呢？在绵延的历史长河中，

人们又是怎样

“计算”

圆周率

的呢？

【设计意图】

从数学史与数学文化的角度，来引起学生对于圆周率求解方法的兴趣，为后面各种方法的介绍做好铺垫。

（二）探索方法

【第一组：实测法】

第一小组学生代表介绍：“用实测的方法求圆周率”

（请看视频）

【学生活动】学生讨论实测法的不准确之处：

1.圆周是曲线，用细绳去拟合时，存在误差。2.测量长度时，存在误差。

【教师总结】尺子的精度越高，得到的测量值可能会越准确。精度再高的刻度尺

也无法量得线段长的真实值。其实，早在明代就有一位名叫邢云路的数学家，他

就用实测的方法求圆周率，

后来茅以升这样评价他：“云路欲以度量所得，抹煞

古人诸率，所见甚浅。”可见，实测的办法是比较粗糙的。

【设计意图】

通过实测与经验来估计圆周率的近似值，是人类历史上最早采用的方法，但

这种方法在数学上既不严密，同时所求得的近似值的精确度也无法保证，在课前让学生通过实验，切身体会到用实测的方法求圆周率是比较粗糙的。

【第二组：布丰投针】

第二小组学生代表介绍：“用布丰投针实验求圆周率”

【学生活动】求解任意给出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率。

解：设这三个正数为a，b，c，不妨设a，bc，

由以a，b，c为边长可以围成一个钝角三角形

得：abc，a2b2c2，

ab变形，得：ab1，1，

cccc0x1ab令x,y，则，

0y1ccxy122xy122由线性规划可知：满足题意的可行域为直线yx1与圆x2y21围成的弓形，总的区域是一个边长为1的正方形。

-S弓形-242则可以围成一个钝角三角形的概率P。

S正方形141【教师总结】早在1904年，R查特发现，两个随意写出的整数中，互素的概率

为6。然后，我们可以通过“像投针一样的操作实验”或者“让计算机产生随

2机数，进行计算机模拟实验”，从而得到实验频率，求出圆周率的近似值。

【设计意图】布丰投针实验至少给了我们两大启示：1.可以利用概率原理来解释

圆周率的计算，虽然实验结果具有随机性；2.投针实验拓宽了人们运用数学知识

解决复杂问题的渠道，它已发展为一种新的数学方法——统计实验法，也就是著

名的蒙特卡罗法。利用概率论的大数定律，可以保证用该方法求得的近似值在概率意义上是收敛于真实值的，但所得结果的精确度无法准确估计，因此相对于实测的方法，有所进步，但仍不够完善。 【第三组：割圆术】

第三小组学生代表介绍：“刘徽的割圆术”

通过课前学习，让学生对刘徽的割圆术有了基本的认识，并得到了课本上的1圆内接正多边形的面积递推公式S2nSnnxn(1hn). 2【学生活动】

小组交流1：刘徽为什么不从圆内接正三角形的面积开始，而是从六边形开始？

——好算，且

精确度

相对较高。

小组交流2：如果以正四边形面积为起始可以吗？

——以任意正n边形面积为起始都可以，因为x2n与xn及S2n与xn之间的

递推关系

并不会因为初始值的不同而发生改变.随着正多边形边数的增加，最终的效果是一致的. 【教师总结】回味刘徽的割圆术，他是以圆内接正六边形的面积为起始，借助x6来求S6，然后在x6，S6的基础上，求x12，S12，依次类推，……，要求S2n，只需借助于xn，Sn，得到了圆内接正多边形的面积的递推公式。

【设计意图】让学生通过课外阅读与课前学习，以小组交流的形式汇报阅读成果. 为本节课内针对刘徽的割圆术的再思考奠定了必要的认知基础，同时也让学生认识到在数学学习中“阅读”的重要性．

．．【师生互动】在算完正六边形的面积后，为什么不算正七边形的面积，而是选

择计算正十二边形的面积？

（请看视频）

【学生活动】分析与讨论在算完正六边形的面积后，不算正七边形面积的理由. 【教师总结】正十二边形的面积容易计算，关键在于在正六边形的基础上，增加的顶点B是CD的中点，根据垂径定理，正十二边形的“特征三角形”的底就是半径1，高其实是正六边形的边长的一半．

．．．．．．．．．．．．．．

【设计意图】正六边形的面积算完后，为什么直接跳到算正十二边形的面积？正是因为我们可以借助正六边形的边长，来求正十二边形的面积（及边长）. 而知道正六边形的边长和面积，却没有为算正七边形的面积带来任何帮助. 这样设问，是为了让学生在计算的过程中体会从正六边形过渡到正十二边形的合理性．同时让学生体会其中蕴含的递归思想，发现问题本质，为下面的递归关系的建立奠定基础．

（三）完善方法

问题1：是否有其他办法可以求圆内接正多边形的面积?

能否把刚才的方法推广到一般情形？（请看视频）

【学生活动】学生介绍不同于课本教材的圆内接正十二边形的面积的求法: 把正十二边形分割成十二个特征三角形，容易算得它的面积为： 11xS1212SCOB12（OBCA）12（6）

2221xn（n）xn

【学生活动】那么正2n边形的面积S2n就等于：S2n2nSCOB2n222

【教师总结】从此式看出：只需借助正n边形的边长xn来求正2n边形的面积x1（1-1(n)2）)，表达式S2n．

相比于之前介绍的递推公式S2nSnn(xn22上更加简洁. 同时，也要注意到：这两个面积递推公式，都是借助于x2n与xn之间的递推关系，其本质是一样的.

【师生互动】这两种递推公式，哪一种在计算机里运行速度更快？效率更高？

【学生活动】后者在表达式上更加简洁，减少了开方运算的次数，效率更高。

【教师总结】在1800年前，刘徽只计算到了圆内接正192边形的面积，相当于只迈开了六步。现在，我们已拥有具有强大计算能力的计算机。这个递推公式，恰好符合计算机的迭代算法。

我们可以借助计算机来实现算法。

【设计意图】割圆术作为历史上第一个出现的完备性最好的求圆周率的方法，

也并非在各个方面尽善尽美，因此引导学生在知识的获得之后，但作为课内针对学生课前阅读的“第一次思考”，

引导学生成功建立正n边形的边长与正2n边形的面积之间的递归关系，而且此面积递推公式比课本介绍的递推公式更加简洁，为后续计算边数更多的正多边形面积提供了一个可行、高效的方法，也为后续的程序的实现提供了算法依据，让学生体会到“阅读”之后“思考”的重．．要性与必要性．

（四）实现算法 回味此递推公式：x2n24xn2，已知x6，求得x12后，再由x12，代入此式，求得x24，……，依此类推，这是一种迭代的算法，而Excel软件刚好有迭代的功能，我们就借助Excel来实现算法. （请看视频）

n

612

24

48

96

192

384

76815363072614412288

xn1.00000000.51763810.26105240.13080630.06543820.03272350.01636230.00818120.00409060.00204530.00102270.0005113S2n3.00000003.10582853.13262863.13935023.14103203.14145253.14155763.14158393.1415905 3.14159213.14159253.1415926 通过表格，我们看到：

随着n的增大，S2n的面积越来越大，越来越趋近于的真实值. 运用Excel软件实现的算法，可以用程序框图来表示，再翻译成程序语言，利用计算机实现算法. 【数学史介绍】数学家祖冲之在此基础上，把圆周率精确到小数点后第七位. 在西方，这个成绩由法国数学家韦达于1593年取得, 比祖冲之晚了一千多年.

【设计意图】揭示递推公式与迭代算法之间的关系，借助计算机来实现圆周率的近似值的估计，既是对刘徽割圆术的方法的有效验证，又体现了中国古代

数学的算法特征．同时让学生体会用程序框图来表示算法，能使算法的逻辑结构更清楚、步骤更直观．同时了解求解圆周率的历史，感受数学的文化价值．

问题2：已知圆内接正四边形的面积S42，在此基础上往下算，会选择计算圆内接正几边形的面积？

理由是什么？ （请看视频）

【学生活动】计算圆内接正八边形的面积S8，再计算圆内接正十六边形的面积S16，依此类推. 可以借助正n边形的边长与正2n边形的面积.

【教师总结】x2n与xn及S2n与xn之间的递推关系并没有因为初始值的不同而发生改变.即使初始值的误差比较大，随着正多边形边数的增加，最终的效果会是一致的.

【设计意图】作为课内针对学生课前阅读的“第二次思考”，让学生牢牢把握刘徽的割圆术的本质——递推关系的应用与迭代算法的实现，与迭代过程的初始值无关．

我们刚才都是用圆内接正多边形的面积S2n来近似代替圆的面积，这样得到的的近似值肯定要比的真实值小.也就是说，我们得到的是（圆面积）的下限.出于考虑问题的严谨性，还要对圆面积的上限加以估计.

问题3：选择哪个几何图形的面积作为圆面积的上限？ （请看视频）

【学生活动】设圆外切正n边形的边长为yn,外切正n边形的面积为Tn. x1nx2xn2利用相似比：n

得：yn

2yn14xn2nxn1所以Tnnyn1

224xn

问题4：是否有更合适的几何图形的面积可以做为圆面积的上限？（请看视频）

【学生活动】思考是否有更佳的上限估计方式，并提出自己的看法：这些圆内接正多边形每边外有一余径，用边长乘以余径，加到正多边形的面积上，则大于圆的面积，即数学家刘徽的想法. 此时，此几何图形的面积为：

Sn2S2nSnS2nS2nSn.

【设计意图】通过圆面积的上限的讨论，进一步完善割圆术的思想，作为

课内针对学生课前阅读的“第三次思考”，通过计算、对比，让学生深刻体会刘徽的割圆术的精明之处：１、利用已有的成果Sn,S2n

来表示圆的面积的上限，成功的将计算量减半；2、刘徽的割圆术的完备性与数学研究过程中所要求的严密性相符．让学生感受在“阅读”的基础上“思考”所带来的成果．

我们也借助Excel软件来实现算法:

n481632641282565121024204840968192xn1.4142136 0.7653669 0.3901806 0.1960343 0.0981353 0.0490825 0.0245431 0.0122718 0.0061359 0.0030680 0.0015340 0.0007670 S2n2.8284271 3.0614675 3.1214452 3.1365485 3.1403312 3.1412773 3.1415138 3.1415729 3.1415877 3.1415914 3.1415923 3.1415926 S2n+ΔS3.2945078 3.1814228 3.1516518 3.1441138 3.1422233 3.1417504 3.1416321 3.1416025 3.1415951 3.1415933 3.1415928 【设计意图】再次通过Excel软件实现上限的估计，验证了运用割圆术求解的近似值的可行性与有效性，实现了学生课前的“阅读成果”．

问题5：

同学们还有什么感触吗？

【学生活动】学生介绍利用三角函数来求圆内接正多边形的的面积：把正十二边形分割成十二个特征三角形，利用三角函数算得它的面积为：

1S1212SCOB1212sin300

2【学生活动】那么正2n边形的面积S2n就等于：S2n2nS特征三角形nsin2n

【教师总结】利用三角函数求解圆内接正多边形的面积，在历史上，直到文艺复兴时期，哥白尼（1473--1543）和开普勒（1571-1630）研制了相当精确地三角函数表，这个问题才得以解决。

看来同学们都能学以致用！

【数学史介绍】事实上，历史上还出现了很多求圆周率的方法，比如：韦达的无穷乘积法，欧拉的无穷级数法，1844年，达赛利用的反正切函数表达式把π值计算到了小数点后200位。

【设计意图】

在详细介绍了“实测方法”、“蒙特卡洛方法”与“割圆术”之后，又对如何用高等方法求解圆周率进行了简要的介绍，让学生增加了对近代数学求解的历史，使得数学史上对于的求解历程有了更加完整的认识，再次感受数学的文化价值．

（五）归纳小结

从实测的直觉与粗糙，到割圆术的以直代曲、无限逼近、内外夹逼的严谨，再到三角函数加入割圆术，π的计算精度越来越高，但方法上没有本质改变。直到1665年牛顿等人发明微积分，才使π的计算走到了历史转折点，然而追溯建立微积分的先驱人物又当数阿基米德和刘徽，他们提出的割圆术中已相当自觉地运用了“无穷”和“愈来愈接近”等属于微积分的基本概念。同时，1777年，布丰的投针实验则另辟蹊径，充满创新。

纵观几千年来，为了得到更精确地圆周率的值，数学家们千方百计，花费了很多时间和精力，进行着不懈的探索。

这个过程不仅仅是“从公元前2000年的几位小数，到公元后2000年的2061亿位小数”的变化，而是在其背后的运算工具的不断发展，昭示了人类在数学领域的卓越追求。

1761年，当人们还在狂热于计算π值的时候，兰伯特(H·Lambert)证明了π是一个无理数；1882年，林德曼F·von Lindermann于又证明了它是超越数，圆周率的神秘面纱就被揭开了。这一结论解答了公元前434年提出的“化圆为方”

的问题是无法实现的。

可见，数学越向前发展，人们对事物的认识就越加清晰、深刻。所以说，数学是有用的。

愿今天的圆周率之旅，能让你领略到一些数学的魅力，触发起你心中的探索欲望。

五、教学特点及反思

（1）课前阅读与课内思考紧密结合

本节课采用学生课前阅读与课内思考相结合的方式，课前组织学生自主查阅并学习历史上有关圆周率的各种不同的求法，是为“阅读”；而后在课内引导学生在通过对各种不同的圆周率求法的介绍，对比，以及相关问题进行更加深入的探究，是为“思考”，紧密结合阅读与思考，突破传统的新授课课堂教学模式．通过“阅读”带动“思考”，再经过“思考”加深“阅读”所获得的知识的理解，既给学生创设了自主探究、小组合作交流等平台，又充分挖掘了思维的深度和广度.

（2）历史发展与数学进步有效契合

本节课既介绍了有关圆周率求解的数学历史，又渗透了各种求解方法所蕴含的数学思想与方法，在方法的介绍与探讨过程中，成功地将历史发展过程，与不同方法的逻辑严密性与精确性的提高过程这两条线索有效契合，贯穿整节课堂，做到数学中有历史，历史中有数学。

（3）信息技术与课程内容有机整合

通过揭示递推公式与迭代算法之间的关系，用程序框图来表示算法，借助计算机中的Excel软件来实现算法，完成对圆周率的近似值的初步估计，既验证了运用割圆术求解的近似值的可行性与有效性，又体现了中国古代数学的算法特征．