阅读与思考 向量的运算（运算律）与图形性质教学目标

第二讲

高考客观题的解法

青铜峡一中

秦彩莉

2019.4.16

1．在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点，

灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．

灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．

2．数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确地解答填空题的基本要求．

数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等．

技法一:直接法

直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

(2016·高考全国卷丙)若z＝1＋2i，则A．1

C．i

4i＝(

) zz－1B．－1 D．－i (2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A

45＝，cos C＝，a＝1，则b＝_______ 5134i4i【解析】

(1)＝＝i.

（1＋2i）（1－2i）－1zz－145312(2)因为cos A＝，cos C＝，所以sin A＝，sin C＝，从而sin B＝sin(A＋513513C) ＝sin Acos C＋cos Asin C 3541263＝×＋×＝. 51351365由正弦定理abasin B21＝，得b＝＝.

sin Asin Bsin A13[名师点评]

直接法是解决选择题，填空题最基本的方法，直接法适用范围较广．在计算过程中，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解问题的关键．

[变式训练] 11．(1)(2016·高考山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.3若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(

) A．4

9C.

4B．－4

9D．－

4(2)(2016·石家庄教学质量检测(二))已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝(

) A．2n＋1

C．2n－1

B．2n

D．2n－2

2n2[解析] (1)由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n＝0，所以t＝－m·n＝－n2＝－|m||n|cos〈m，n〉|n|21|m|×|n|×3

|n|4＝－3×＝－3×＝－4.故选B.

|m|3(2)依题意，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，

则an＋1＝2an，令n＝1，则S1＝2a1－4，即a1＝4，

所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，

所以an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.

技法二:特例法

当已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．

(1)(2016·高考全国卷乙)若a>b>0，0

) A．logac

C．ac

B．logca

D．ca>cb

(2)(2015·高考四川卷)设四边形ABCD为平行四边形，

→|＝6，|AD→|＝4.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝(

) |ABA．20

C．9

B．15 D．6 111111【解析】

(1)取a＝4，b＝2，c＝，则log4＝－＞log2，排除A；42＝2＞22，22221412排除C；2＜2，排除D.

(2)若▱ABCD为矩形，建系如图，

由已知M(6，3)，N(4，4)，

→＝(6，3)，NM→＝(2，－1)，

则AM→→AM·NM＝6×2－3×1＝9.

名师点评]

特例法具有简化运算和推理的优点，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特例法解题时，要注意以下几点：

第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；

第三，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，不能使用该种方法求解．

[变式训练] 2．(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为(

) A．130

C．210

B．170 D．260 边上的中线，K为AO上一交直线AB、AC于不同的(2)如图所示，在△ABC中，AO是BC→＝2AK→，过点K的直线分别点，且AO两点M、N，

→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n＝________．

若AB解析] (1)取m＝1，依题意a1＝30，a1＋a2＝100，则a2＝70，

又{an}是等差数列，

所以a3＝110，故S3＝210.

(2)由题目可知K为AO的中点，m，n变化但m＋n的值为定值，故可取一个特殊位置求解．

→＝当过点K的直线与BC平行时，MN就是△ABC的一条中位线．这时由于有AB→，AC→＝2AN→，因此m＝n＝2，

2AM故m＋n＝4.

技法三:图解法

对于一些含有几何背景的问题，若能“数中思形”“以形助数”，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．

(2016·高考天津卷)已知函数

2x＋（4a－3）x＋3a，x＜0，f(x)＝(a＞0，且a≠1)在R上单调递减，且关于xloga（x＋1）＋1，x≥0x的方程|f(x)|＝2－恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是________．

3【解析】

因为函数f(x)在R上单调递减，

3－4a所以≥0，20＜a＜1.02＋（4a－3）·0＋3a≥f（0），13解得≤a≤.

34x作出函数y＝|f(x)|，y＝2－的图象如图．

3x由图象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f(x)|3x＝2－同样有且仅有一个解，

3212所以3a＜2，即a＜.综上可得≤a＜，

33312所以a的取值范围是3，3.



[名师点评]

图解法实质上就是数形结合的思想方法在解题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．

[变式训练] 3．(1)函数y＝|log1x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b2－a的最小值是(

) A．2

C．3

3B.

23D.

4(2)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________．

[解析] (1)作出函数y＝|log1x|的图象，如图所示，由y＝0，解得x21＝1，由y＝2，解得x＝4或x＝.所以区间[a，b]的长度b－a的最4

13小值为1－＝.

44→|＝|OB→|＝1，

(2)法一：如图所示，在△OAB中，|OA∠AOB＝60°，延长BA到C使∠BOC的中点，

→＝OA→＋AC→＝OA→＋BA→＝2a－b，则t＝2.

c＝OC1法二：由已知b·c＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，t＋(1－t)＝0，

2因此t＝2.

＝90°，则A为BC