2.1.2 向量的几何表示教案设计范例

教学设计（主备人：寸待胜）

学科长审查签名：

段优优

高中课程标准·数学4必修

2.1.2 向量的几何表示

一、教学目标

1、目标：

（1）从生活实例中感受向量以及研究向量的必要性. （2）理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模. （3）理解零向量、单位向量的含义，能在图形中辨认向量的模. 2、重难点：

教学重点：理解自由向量、相反向量等概念,并能判断向量之间的关系,并会辨认图形中的向量的模. 教学难点：在教学过程中,应充分根据平面向量的两个要素加以研究向量的关系,揭示向量可以平移这一特性. 二、预习导学

如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.

图1 三、问题引领，知识探究

合作探究一

①如何表示向量? ②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么? ③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量? ④数量与向量有什么区别?

活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几

何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的

起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.起点要写在终点的前面.

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已知AB,线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度,记作|AB|.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.

图2

知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定. 用有向线段表示向量的方法是: 1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:AB. 这里要提醒学生注意AB的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点. 2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用a) 3°向量AB(或a)的大小,就是向量AB(或a)的长度(或称模),记作|AB|(或|a|). 教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义. 讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用a

→来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如AB、CD. 注意:手写体上面的箭头一定不能漏写. ②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.

图3 ③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量. ④数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小. 合作探究二

如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)

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图5 分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示. 解:AB表示A地至B地的位移,且|AB|≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000) 100 000) AC表示A地至C地的位移,且|AC|≈296 km.(AC长度×8 000 000÷

点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置. 变式训练

一个人从A点出发沿东北方向走了100 m到达B点,然后改变方向,沿南偏东15°方向又走了100 m到达C点,求此人从C点走回A点的位移.

图6 解:根据题意画出示意图,如图6所示. |AB|=100 m,|BC|=100 m,∠ABC=45°+15°=60°, ∴△ABC为正三角形. ∴|CA|=100 m,即此人从C点返回A点所走的路程为100 m. ∵∠BAC=60°, ∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=15°,即此人行走的方向为西偏北15°. 故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100 m.

图7 . （五）小结

本节课从平面向量几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然

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后又介绍了向量的模,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好. 设计意图：回顾和总结本节课的主要内容。

四、目标检测

课本习题2.1

A组1、2

五、知识小结：本节课学习了哪些知识？

六、分层配餐（课后完成）

A组

1、把这种既有大小一，又有方向的量叫做

，而把那些只有大小没有方向的量叫做

2、

的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作

AB，线段AB的长度也叫做有向线AB的长度，记作

，段有向线段包括三个要素：

、

、

3、向量AB的大小也就是向量AB的

（或称

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模），记作

，长度为零的向量叫做

，长度等于1个单位的向量，叫做

。

设计意图：考察学生对基础知识的掌握。

B组

1、

已知向量a的模等于0，则a的起点与终点

2、

用有向线段表示两个方向相同长度不同的向量，如果有相同的起点，那么它们的终点是否相同？

3、

指出图中向量模：

设计意图：适当提高难度，考察学生的基本思维和数学思想方法。

C组

1、已知A、B、C是平面内的三个点，则以其中的一个点位起点，另一个点位终点

所得向量的个数为

（

）

A.

1

B.

2

C.

3

D.

6 2、一运输汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点

（1）做出向量AB,BC,CD;

（2）求AD

设计意图：使学生对平面向量的概念有更深层次的理解，并会运用平面向量概念知识解决实际问题。

教学反思：

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